Exos

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 16 (3850 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 23 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ
Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables
Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I.
Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en aalors :
1. ¦ + g est dérivable en a.
2. ¦g est dérivable en a
3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1
g
est dérivable en a.
Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).
Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout x Î I :
(v ou)'(x) = u'(x) v'(u(x))
Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
Considérons la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) = x2 sin 1
x
æ ö
ç ÷
è ø
si x ¹ 0 et ¦(0) = 0
Montrer que :
1. ¦ est continue en 0.
2. ¦ est dérivable en 0.
3. ¦' n'est pas continue en 0.
Exercice 4 Un petit théorème de point fixe
Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1].
Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].
Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée
Démontrer que l'équation
x4 + x3 - x + 1 = 0
n'a pas de solutions sur .
Exercice 6 Une limite classique
On rappelle que lim
t®0
sin(t)
t
= 1. Soit n Î .
Étudier la limite suivante : lim
t®0
sin( )
sin( )
nt
tExercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle
On considère la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) = x2 + x + 1 - x
On note C¦
sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ;
r r
i,j )
1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ?2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x - 1
2
est asymptote oblique à C¦ en -¥.
Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur 
Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée.
On rappelle que : lim
h®0
cos(h) 1
h
-
= 0 et lim
h®0
sin(h)
h
= 1
Exercice 9 Une bijection de  sur ]-1 ; 1[
Soit ¦ la fonctiondéfinie sur  par : ¦(x) =
1
x
+ x
1. Démontrer que ¦ est bornée sur .
2. Étudier la parité de ¦.
3. Étudier la dérivabilité de ¦ en 0.
4. Démontrer que ¦ définit une bijection de  sur ]-1 ; 1[.
Exercice 10 On ne peut être dépassé par plus lent que soit.
Soient ¦ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ¦(0) = g(0) et ¦' g' sur I.
Démontrer que ¦  g sur I.(On pourra étudier les variations de g - ¦)
Exercice 11 Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une limite
1. On se propose d'étudier la limite en
p
2
de la fonction ¦ définie par :
¦(x) = cos( )
2
x
x p
-
pour x ¹
p
2
.
Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée.
En considérant l'accroissement moyen de la fonction cosinus en
p
2
, déterminer lalimite ci-dessus.
2. Par une méthode analogue, étudier les limites de ¦ en a dans les cas suivants :
¦(x) = 1+ x - 1
x
en a = 0
¦(x) = tan( ) 1
4
x
x
-
p
-
en a =
p
4
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Exercice 12 Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun
Soient ¦ et g deux fonctionscontinues sur le segment I = [0, 1] telles que g o ¦ = ¦ o g.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'alors, il existe un réel l de [0, 1] tel que ¦(l) = g(l).
1. Question préliminaire
Soit j la fonction définie sur [0, 1] par j(x) = ¦(x) - x.
Démontrer qu'il existe un réel a Î [0, 1] tel que :
j(a) = 0
On a donc ¦(a) = a. On dit que a est un point fixe de ¦.
Dans la suite du problème...
tracking img