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CCP MP PHYSIQUE I 2008 Corrigé Par Mohamed ELABDALLAOUI Professeur agrégé de physique chimie CPGE Lycée Ibno Timia MARRAKECH

– MÉCANIQUE –

I. Étude sommaire
1. Détermination des caractéristiques de l’oscillateur ɺ ɺɺ ɺ x 1-a) La RFD donne mx + β x + kx = 0 ɺɺ + 2λ x + ω02 x = 0
2 1-b) le régime est pseudo-périodique λ 2 − ω0 < 0

Solutions de l’équation caractéristique r1 = −λ + j ω02− λ 2 r2 = −λ − j ω02 − λ 2 et x(t ) = A cos  ω02 − λ 2 t + ϕ  exp− λ.t A et ϕ deux constantes dépendant des conditions     initiales. 20π 1-c) ∆t = 10T = donne Ω = 5, 23.rad / s la pseudo période Ω
x0 2m x0 = exp λ.∆t donne β = ln x1 ∆t x1

(

)

β = 4,8.10−3 Kg .s −1 λ = 0, 024

2 Ω = ω0 − λ 2 ⇒ k = ( λ 2 + Ω 2 ) m k = 2,7 N .m −1

2. Mesure d’une accélération 2-a) R(G , x, y , z) n’est pas galiléen il faut ajouter f ie = − maie = −ma (G ) = maω 2 cos ωt.ex et f ic = 0 ɺ ɺɺ ɺ x mx + β x + kx = maω 2 cos ωt ɺɺ + 2λ x + ω02 x = aω 2 cos ωt 2-b) 2 ɺɺ ɺ X (t ) = A exp j (ωt + ϕ ) solution de X (t ) + 2λ X (t ) + ω0 X (t ) = aω 2 exp jωt

X (t ) =

aω 2 exp jωt 2 −ω 2 + 2λ jω + ω0 aω 2

⇒ A = X (t ) =


aω 2
2

2 0

−ω

2 2

) + ( 2λω )
2

2

et ϕ =− arctan

2λω ω02 − ω 2

x(t ) =



2 0

−ω2

) + ( 2λω )

  2λω   cos  ωt − arctan  2 2     ω0 − ω   

2-c) Le maximum représente la résonance aω 2 X0 = ⇒ y= 2 2 ω02 − ω 2 ) + ( 2λω ) (

u2

(1 − u )

2 2

 λ  +2 u  ω0 

2

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1/12

2u dy = du

(1 − u )

2 2

2 2  λ  1 2  λ   22 +  2 u  − u  (1 − u ) +  2 u     ω0  2   ω0   

−1/ 2

2   λ   2  −4 (1 − u ) u + 2  2  u     ω0   

(1 − u )
2u (1 − u
2 2

2 2

 λ  +2 u  ω0 

2

dy = du

)

2 2  λ  1 2  λ   2 + 2u  2 u  − u  −4 (1 − u ) u + 2  2  u    ω0  2   ω0    2   λ   2 2  (1 − u ) +  2 u      ω0    2 3/ 2

 λ  2u (1 − u ) + u 2 u   ω0  = 2 3/ 2   λ   2 2  (1 − u ) +  2 u      ω0   
4

1 2Q 2 Une réponse simple : Graphiquement le maximum est obtenu pour u > 1 c'est-à-dire cette situation 1 ne se présente que si λ < (cours) 1−

dy = 0 ⇒ x = 0 ou x = du

1

avec Q =

ω0 2λ

ω = 7 ⇒ u = 1,35

ω0

y = 1,6 ⇒ a =

X0 = 0,125m y

2-d)

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2/12

βω 2 X 02 1 2 ɺ ɺ P = Fv = − β x et < P >= ∫ − β x dt < P >= − 2 T 0
T

2

( < cos 2 >=

1 ) 2

II. Amélioration du dispositif
1. On suppose que le mouvement a lieu sans glissement 1-a) La vitesse de glissement est nulle ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ V ( I ) = V (G ) + Ω ∧ GI = xex + θey ∧ −aez = xex + θey ∧ − aez = x − aθ ex = 0

(

)

(

) (

)

ɺ ɺ x = aθ
1-b) Ec = 1-c)Em =

3 1 2 1 ɺ2 1 2 1 2 ɺ2 ɺ ɺ ɺ mx + Jθ = mx + ma θ ⇒ Ec = mx 2 4 2 2 2 4

2k 3 2 1 2 ɺ x x=0 mx + kx = Cste ⇒ ɺɺ + 3m 4 2

x(t ) = x0 cos(ωt ) avec ω =

2k 3m

1-d) Le mouvement s’effectue sans glissement si T < f N

1 2 ɺɺ Le TRC s’écrit T − kxex = mxex ⇒ T = ( k − mω 2 ) xex ⇒ T = mω0 x et 3 3 fg 1 1 2 N = mg ⇒ mω0 x < fmg or x ≤ x0 donc il faut que mω02 x0 < fmg et x1 = 2 x1 =0, 26m ω0 3 3 2. On se place dans le cas où xo>x1 et on étudie la première phase de glissement 2-a) T = f0 N vglissement ≠ 0 T est colinéaire à vG de sens contraire
2-b) ɺɺ mxex = T − kxex

ɺ ɺ ɺɺ x Vglissement = x − aθ ex ⇒ mx + kx = − fmg ⇒ ɺɺ + ω 2 x = − fg ⇒ x (t ) = −
 2  1 1   x (t ) = − x1 +  x0 + x1  cos  ω0t   3  2 2     2-c)

(

)

fg   +  x0 + 2  cos ωt ω ω  fg
2

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3/12

ɺɺ Le TMC s’écrit : Jθ ey = GI ∧ T = −aez ∧ − fmgex = fmgaey
dθ fmga = t dt J 2-d)

   2  2 1  2 2 Vglissement =   x0 + x1  ω0 sin  ω0t  − x1ω0 .t  ex  3    2  3   3  
2-e)  2  2 sin  ω0t  ≈ ω0 t  3  3   2 2 1    1 2 2 Vglissement =   x0 + x1  ω02t − x1ω02 .t  ex ⇒...
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