Equation produit et équation quotient 1. Equation produit
Définition Toute équation du type A( x) × B( x) = 0 où A( x) et B( x) sont des expressions algébriques, est appelé équation produit.

Règle 1 Un produit de facteurs est égal à zéro si et seulement si l’un au moins des facteurs vaut zéro.Autrement dit A( x) × B( x) = 0 ⇔ A( x) = 0 ou B( x) = 0 (le symbole ⇔ se lit équivaut à) Exemple 1 Résoudre l’équation (2 x − 1)(− x + 1) = 0 . Solution Il s’agit d’une équation produit. A( x) × B( x) = 0 ⇔ A( x) = 0 ou B( x) = 0 ; C’est-à-dire (2 x − 1)( − x + 1) = 0 équivaut à (2 x − 1) = 0 ou ( − x + 1) = 0 ce qui équivaut à 2 x = 1 ou − x = −1 1 1 1  équivaut à x = ou x = 1 . Les solutions de l’équation sont et 1 . Donc S =  ; 1 2 2 2 
Exemple 2 Soit l’expression P ( x) = ( x − 1)(2 x + 3) − (2 x − 2)(3x − 5) . 1. Factoriser P( x) . 2. Résoudre P ( x) = 0 . Solution 1.
P( x) = ( x − 1)(2 x + 3) − 2( x − 1)(3x − 5) = ( x − 1)(2 x + 3 − 2(3 x − 5)) P( x) = ( x − 1)(2 x + 3 − 6 x + 10) = ( x − 1)( −4 x + 13) P ( x) = 0 ⇔ ( x − 1)( −4 x + 13) = 0 équivaut à x − 1 = 0 ou −4 x + 13 = 0 13 13 13  équivaut à x = 1 ou x = . Les solutions de l’équation sont et 1 . Donc S =  ; 1 4 4 4 

2.

2. Equation Quotient
Définition
Toute équation de la forme A( x) = 0 où A( x) et B( x) sont des expressions algébriques avec B( x) ≠ 0 est appelé B( x)

équation quotient.

Règle 2 A( x) = 0 ⇔ A( x) = 0 et B ( x) ≠ 0 B( x)
Exemple 3 Résoudre l’équation
2x − 3 = 0. x +1

Solution x + 1 ≠ 0 si x ≠ −1 3 3 3 3 2 x − 3 = 0 si x = . Comme est différent de -1, la solution de l’équation est . Donc S =   2 2 2 2