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Le modèle de Black & Litterman

Opinions et équilibre

Le paradoxe de Markowitz
Empiriquement il arrive fréquemment que le portefeuille equipondéré fasse mieux même sur 10 ans et plus que les portefeuilles optimisés!!! « Optimisation du portefeuille ou maximisation des erreurs »?

Un exemple : déc 1992-sep. 2007

nom US LARGE CAP VALUE US MID CAP VALUE US SMALL CAP VALUE US LARGE CAPGROWTH US MID CAP GROWTH US SMALL CAP GROWTH EM ASIA EM EUROPE EM LATIN AMERICA EMU JAPAN UNITED KINGDOM

capitalisation 21,74% 3,02% 1,61% 18,01% 1,61% 1,85% 3,19% 1,61% 2,12% 19,25% 15,62% 10,36%

Un exemple
(1) Simulation à partir des données initiales de 1000 histoires ayant la même durée (177 mois) les mêmes paramètres (moyennes, variances) suivant une loi normale multivariée (2) Pourchaque échantillon simulé, détermination du portefeuille optimal (3) Evaluation sur l’échantillon initial

Un exemple
Eu 5,47% 5,76% 9,78% 3,10% 5,28% -6,84% -1,22% 4,65% 7,60% 9,65% ratio de Sharpe 0,56 0,56 0,86 0,55 0,20 0,17 0,42 0,57 0,70 0,85 Er 11,51% 10,29% 14,30% 12,23% 2,80% 6,67% 11,26% 12,73% 14,21% 16,25% volatilité 15,55% 13,47% 13,45% 18,40% 5,18% 12,75% 13,61% 17,23% 22,10%29,50%

equipondéré marché optimal moyenne écart-type 5,00% 25,00% 50,00% 75,00% 95,00%

Le paradoxe de Markowitz Explications
Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers qui ne sont que des mirages D’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs »

Que faire? une piste : l’approche bayésienneLe modèle de Black & Litterman et les modèles bayésiens

Inférer un paramètre inconnu de l’historique en utilisant un a priori

Les fondations statistiques La relation de Bayes

P ( A B )= P ( B A) P ( A ) / P ( B )
Le cas de B&L :
B = échantillon A = rendement espéré (inconnu)

P(µ{r })
t

Les fondations statistiques Le cas statistique de B&L
Lois normales Espérance inconnue,variance connue

Les fondations statistiques
La probabilité conditionnelle du rendement moyen Où

est la variance (échantillonnée) La distribution a priori du rendement espéré

σ /N ˆ

µ ~ N ( µ ,σ / N ) ˆ ˆ µ est le rendement espéré
µ ~ N(µ ,Σ)

Les fondations statistiques Le résultat essentiel :

µ ~ N(µ ,Σ )
prev prev

µ =(Σ µ + Nσ µ )(Σ + Nσ ) ˆ
prev −1 −1 T −1 −1

−1

Σ =(Σ+ Nσ
prev −1

−1

)

−1

Les fondations statistiques Et sous l’hypothèse d’indépendance

r µ ~ N(µ ,Σ +σ) ˆ
prev prev

Les fondations statistiques

La réponse statistique : Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Le modèle de Black & Litterman
FischerBlack & Robert Litterman « Global Portfolio Optimization », Financial Analysts Journal, September / October 1992, pp. 28-43 Robert Litterman and the Quantitative Resources Group, GS Asset Management Modern Investment Management : an equilibrium approach, John Wiley & Sons, 2003

Le modèle de B&L
L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions.

Lemodèle de B&L
Une exigence de la démarche bayésienne : avoir un a priori La préférence de F. Black : le CAPM

Les rendements implicites
Comment utiliser le CAPM? Quels rendements espérés induits par cette notion d’équilbre?

Les rendements implicites
Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp.46372

Deux approches pour déterminer le rendement implicite le CAPM → le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

L’optimisation inverse
Les conditions marginales (avec actif sans risque)

Π=λΣwmkt
Où mkt est le portefeuille de marché

w

L’optimisation inverse (suite)
Le coefficient d’aversion au risque

R...
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