Le modèle de Black & Litterman

Opinions et équilibre

Le paradoxe de Markowitz
Empiriquement il arrive fréquemment que le portefeuille equipondéré fasse mieux même sur 10 ans et plus que les portefeuilles optimisés!!! « Optimisation du portefeuille ou maximisation des erreurs »?

Un exemple : déc 1992-sep. 2007

nom US LARGE CAP VALUE US MID CAP VALUE US SMALL CAP VALUE US LARGE CAP GROWTH US MID CAP GROWTH US SMALL CAP GROWTH EM ASIA EM EUROPE EM LATIN AMERICA EMU JAPAN UNITED KINGDOM

capitalisation 21,74% 3,02% 1,61% 18,01% 1,61% 1,85% 3,19% 1,61% 2,12% 19,25% 15,62% 10,36%

Un exemple
(1) Simulation à partir des données initiales de 1000 histoires ayant la même durée (177 mois) les mêmes paramètres (moyennes, variances) suivant une loi normale multivariée (2) Pour chaque échantillon simulé, détermination du portefeuille optimal (3) Evaluation sur l’échantillon initial

Un exemple
Eu 5,47% 5,76% 9,78% 3,10% 5,28% -6,84% -1,22% 4,65% 7,60% 9,65% ratio de Sharpe 0,56 0,56 0,86 0,55 0,20 0,17 0,42 0,57 0,70 0,85 Er 11,51% 10,29% 14,30% 12,23% 2,80% 6,67% 11,26% 12,73% 14,21% 16,25% volatilité 15,55% 13,47% 13,45% 18,40% 5,18% 12,75% 13,61% 17,23% 22,10% 29,50%

equipondéré marché optimal moyenne écart-type 5,00% 25,00% 50,00% 75,00% 95,00%

Le paradoxe de Markowitz Explications
Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers qui ne sont que des mirages D’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs »

Que faire? une piste : l’approche bayésienne
Le modèle de Black & Litterman et les modèles bayésiens

Inférer un paramètre inconnu de l’historique en utilisant un a priori

Les fondations statistiques La relation de Bayes

P ( A B )= P ( B A) P ( A ) / P ( B )
Le cas de B&L :
B = échantillon A = rendement espéré (inconnu)

P(µ{r }) t Les fondations statistiques Le cas statistique de B&L
Lois normales Espérance inconnue,