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Formule du binôme type de newton

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Formule du binôme de NewtonFormule du binôme de Newton
Théorème
Les coefficients binomiaux apparaissent dans le développement de ( )na b+ ( )a b C a bn i n i n n i i+ =
=
−∑
0
n∈!
Exemple : a + b( )4
= 1
C0
4
! ⋅a
4 + 4
C1
4
! ⋅a
3b+ 6
C2
4
! ⋅a
2b2 + 4
C3
4
! ⋅ab3 + 1
C4
4
! ⋅b
4
Explication intuitive
En faisant la distributivité, on est convaincu …afficher plus de contenu…

Il s’agit d’une combinaison car c’est un tirage, l’ordre ne compte pas (on peut permuter les lettres dans un monôme) et il n’y a pas de répétition (chaque b avant la distributivité n’apparaît qu’une fois). Il y a donc C0
4 = 1 monômes contenant 0 « b ». Et ainsi de suite.
Démonstration : …afficher plus de contenu…

C0
0 ⋅a0 ⋅b0 = 1 : ok
2) Hypothèse de récurrence : la formule est vraie pour n.
A voir : la formule est vraie pour n+1. a + b( )n+1
= a + b( ) a + b( )n

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