Le but de cette fiche est de démontrer que [pic]est irrationnel.

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que [pic]

Si [pic], alors [pic]

avec [pic]or [pic]donc [pic];

Il existe donc bien un entier M tel [pic]. On arrive bien à la conclusion :

Donc si a est pair alors a2 est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire [pic]alors [pic]

avec [pic]qui est bien un entier

Donc si a est impair alors a2 est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si a2 est pair
Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

La démonstration de l'irrationalité de [pic]se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que [pic]est un irrationnel.

On suppose que [pic]est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que [pic]et la fraction [pic]est irréductible

[pic]donc

[pic]

donc [pic]donc [pic]

donc [pic]est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif [pic]tel que [pic]

donc [pic]or [pic]

donc [pic]donc [pic]

donc q est pair donc il existe un nombre relatif [pic]tel que [pic]

donc la fraction [pic]n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était [pic]est rationnel.

Donc [pic]est