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FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE (à réécrire en 5mn31 ) à 1/ a/Valeurs des fonctions trigonométriques usuelles en:

0,

 6

,

 4

,

 3

,

 2

b/Effet sur ces mêmes fonctions des transformations (dessin): x 2/

x, x



x, x

  x, x

 2

x, x

 2

x

cos 2 x  sin 2 x  1 cos a  b  cos a cos b sin a sin b ...sin a  b  sin a cos b  cos a sin b cos a b cos a cos b  sin a sin b. . . sin a b  sin a cos b cos a sin b tan a tan a  b  1tan atan bb et tan a b  1tan atan bb (là où tout est défini) tan a tan tan
a/Hommage aux grands ancètres: qui donnent: b/

cos 2x  cos 2 x sin 2 x  2 cos 2 x 1  1 2 sin 2 x , cos 3x  4 cos 3 x sin 2x  2 sin x cos x , sin 3x  3 sin x 4 sin 3 x x tan 3 tan 2x  12 tan 2 x , tan 3x  3 tan3xtan 2 x x(là où tout est défini) 1 tan
(qui se généralise facilement à

3 cos x et

tan nx 

C 1 tanx C 3 tan 3 xC 5 tan 5 x .... n n n C 0 C 2 tan 2 xC 4 tan 4 x ......... n n n

)
n

c/Avoir à l’esprit la formule de Moivre:

e inx  e ix

n

qui s’écrit aussi:

cos nx  i sin nx  cos x  i sin x

qui permet de
x 2

calculer cosnx et sinnx en fonction de cosx et sinx...avec unbon binôme de Newton. d/En voisines, également les formules utilisant l’arc moitié:

t  tan

cos x 
3/

1 t2 1t 2

,

sin x 

2t 1t 2

,

tan x 

2t 1 t2

(là où tout est défini)
ix

a/ lien fondamental: e ix

 cos x  i sin x , e
e 2i
ix

 cos x
ab 2

i sin x
a b 2

cos x  , sin x  2 ab ia ib b/ e  e  e i 2 2 cos

e ix e ix

e ix

d’où et eia

a b 2

e ib  e i

2i sin

qui donnent (Pensez

au fameux cri du coq matheux au lever du soleil:KOKO-SISISIKOKOSI )

cos a  cos b  2 cos ab cos a2b 2 cos a cos b  2 sin ab sin a2b 2 sin a  sin b  2 sin ab cos a2b 2 sin a sin b  2 cos ab sin a2b 2
et leurs soeurs:

cos u cos v  sin u sin v  sin u cos v 

1 2 1 2 1 2

cos u  v  cos u v cos u  v cos u v sin u v  sin u v
shiz i

4/Faire le lien avec les formules de trigonométrie hyperbolique en utilisant:

cos z chiz et sin z 

pour tout z de C.

S’exercer à réécrire toutes les formules précédentes en trigonométrie hyperbolique avec cette règle.

Formulaire Développements Limités en 0 classiques (en 6mn12) en (Faire le lien éventuel avec les DSE).

La base de ces développements: lethéorème de Taylor-Young appliqué à la fonction de classe C Ý dans un voisinage de 0. S’exercer à mémoriser les trois premiers termes et le terme général. Contrôlez que vous commencez bien par f 0 . Par abus, je prends toujours la même fonction n , qui tend vers 0 en 0 dans le reste. kn k f x  k0 x f k 0  x n n x avec lim 0 n  0 k! 1/ le groupe exponentielle kn k e x  k0 x  x n n x k! 2k knkn x 2k1 chx  k0 x !  x 2n1 n x et shx  k0 2k1 !  x 2n2 n x 2k cosx 
kn k0

1

k x 2k 2k !

 x 2n1

n

x et sinx 

kn k0

1

k x 2k1 2k1 !

 x 2n2

n

x

Premiers termes des développements de tan et th en 0
2 tanx  x  x3  15 x 5  x 6 x et thx  x 2/ le groupe 1/1-Id 1 Id 1 1 x
3

x3 3



2 15

x5  x6 x

kn 1 1 kxk  xn n x n x et1x  k0 k1 kn x k1 kn ln 1 x   x n1 n x et ln 1  x  k0 1 k x  x n1 n x k0 k1 k1 kn kn 1 et 1x 2  k0 1 k x 2k  x 2n1 n x et 1 1x 2  k0 x 2k  x 2n1 n x , d’où 2k1 kn kn 2k1 arctanx  k0 1 k x  x 2n2 n x et argthx  k0 x  x 2n2 n x 2k1 2k1 1x 1x (noter que, sur ]-1,1[, th 1 x  argthx  1 ln 1 x  1 ln | 1 x | cette 2 2 dernière fonction étant définie surR\{-1,1}, de dérivée 1 1x 2 ) kn   1 ........  k1 1  x   k0 xk  xn n x k! kn 1  k   1 ........  n1 k0  (convention 0,  1) convention:c je note c n,  convention n! n! 1 Cas particulier intéressant:   2 kn 1 kn 1 1 k 2k1 2 1 n 1 n 2n ! 1 n k0 k0 c n, 1   2n  2 n 2 n n! 2  2 2n C n d’où 2n n! n! 2 kn kn 1 1 k 1 1 k 2k k 2k 2n1  k0 2 2k C 2k x  x  k0 2 2k C...
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