Les nombres complexes. mardi 13 septembre 2011 14:43

1) Definition On note C l'ensemble des nbres complexes z qui s'ecrivent sous la forme z=ax+iy avec i le nombre imaginaire pur tel que i²=-1 ; x et y La notation z=x+iy est appelée forme cartesienne de z. Le nombre reel x est appelé partie réelle de z. On le note x=Re(z). Y est appelé partie imaginaire de z. On le note y=Im(z) Soient z, z' z=z' avec z=x+iy et z'=x+iy'

Un nombre complexe z est imaginaire pur si Re(z)=0

2) Opération sur C A) Addition
Soient z=x+iy et z'=x'+iy' z+z'=(x+x')+i(y+y') Propriétés: z+z'=z'+z

z+(z'+z'')= (z+z')+z'' Pr z
0

Soit z0=0+i0 (qu'on notera par 0)

=z

B) Conjugaison Definition: Soit z=x+iy Posons
Propriétés: Si z1 , z2 C) Le produit Definition: Soient z=x+iy et z'=x+iy' Le produit de z avec z' est defini par zz'= (xx'-yy')+(xy'+yx')i Proposition: Soit z= x+iy Prenons

Propriétés :
1)

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2)

3)

4)

5)

Exemples: 1) 2) 3) 4) 5) z=1+3i z=1-i z=1+i z=1+2i i²= -1 z'=2-5i z'=-2i = z+z'= zz'= =

i3=-i

i4=1

i5=i

i6=-1

3) Module, argument, exponentielle complexe. Definition : Soit z= x+iy On appelle module de z le nombre reel positif noté Nous avons Lorsque (Im(z)=0) est la valeur absolue de z. de valeur

Propriétés:

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Notation
Soit , on note par le nombre complexe cos

Un peu de trigo..
On considère un repere orthonormé R(o , i , j) et le cercle trignonometrique:

On pose : Cos Sin Tan

○ Fonction sinus.
Definie sur R, peridiodique de periode 2π, sin(-x)=-sinx (-> Impaire) Sin(2π-x)= sin x, sin (π +x)=-sin x

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○ Fonction cosinus Definie sur R, cos (x+2π)=cos x , cos (-x) =cos x (->paire) cos(π-x) = -cos x

Propriétés :

Fonction tangeante : Definie lorsque x

Tan(-x) = -tan x impaire Periodique de periode π

Formules trigonometrie:

Proposition:

1)

2)

3)

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4)

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