IDENTITES REMARQUABLES
Un certain nombre d’identités sont remarquables et doivent être sues par cœur (tout au moins celles qui sont encadrées), parce qu’on les utilise constamment dans les calculs.
En fait, ces identités ne sont que des applications des opérations que nous venons d’étudier et s’établissent aisément.
On notera cependant, pour bien comprendre la nécessité absolue d’apprendre par cœur ces identités, que s’il est facile de développer par exemple (A − B) (A + B) et
(A − B) (A2 + AB + B2) ce qui donne A2 − B2 et A3 − B3, l’opération inverse est beaucoup plus difficile. Lorsqu’on n’a pas acquis la connaissance parfaite d’une identité comme : (A − B) (A2 + AB + B2) = A3 − B3, on est incapable , lorsqu’on rencontre l’expression A3 − B3, de la mettre sous la forme d’un produit et, ce qui est plus grave encore, l’idée qu’on peut transformer A3 − B3 ne vous effleure même pas.
Dans toutes les identités qui suivent, les lettres A, B, C, D….. représente en principe des monômes, mais elles peuvent tout aussi bien représenter des nombres algébriques ou des expressions algébriques quelconques.
Carré d’un binôme.
On a :
(A + B)2 = (A + B) (A + B) = A . A + A . B + B . A + B . B, ou A2 + B2 2AB
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ce qui s’énonce :
Le carré de la somme de deux monômes est égal à la somme de leur carré et de leur double produit.
Un binôme peut aussi se présenter sous la forme A − B, ce qui se ramène au cas précédent en appelant B’ le binôme −B. On peut donc écrire :
(A − B)2 = (A + B’)2 = A2 + 2AB’ + B’2 = A2 + 2A(−B) + (−B)2 = A2 + B2 − 2AB
(A − B)2 = A2 − 2AB + B2

et énoncer :
Le carré de la différence de deux monômes est égal à la somme de leur de leur carré moins leur double produit.
Carré d’un trinôme.
Pour développer (A + B + C)2, posons provisoirement B + C = S. On aura successivement :
(A + B + C)2 = (A + S)2 = A2 + 2AS + S2
= A2 + 2A(B + C) + (B + C)2
= A2 + 2AB + 2AC + B2 + 2BC + C2
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
Carré d’un polynôme.
En