Implémentation des éléments finis en Matlab

1. Introduction : Une courte exécution de Matlab pour les éléments finis P1-Q1 sur des triangles et des parallélogrammes est donnée pour la résolution numérique des problèmes elliptiques avec des conditions aux frontières mixtes sur des grilles non structurées. Selon la brièveté du programme et de la documentation donnée, n'importe quelle adaptation des exemples modèles simples, à des problèmes plus complexes, peut facilement être exécuté. Les exemples numériques prouvent la flexibilité de l'outil de Matlab.

Les programmes proposés de Matlab utilisent la méthode d'élément fini pour calculer une solution numérique [pic] qui rapproche la solution [pic] du problème bidimensionnel de Laplace[pic] avec des conditions aux frontières mélangés (mixtes):

2. Le problème exact : Soit [pic]un domaine de Lipschitz avec une frontière polygonale[pic].
Sur un certain sous-ensemble fermé de la frontière [pic] avec longueur positive, nous considérons des conditions de Dirichlet, alors que nous avons les conditions de Neumann sur la partie restante : [pic]\[pic] Soient[pic], [pic]et[pic].
Cherchons [pic] avec :

(P)

D’après le théorème de Lax-Milgram, il existe toujours une solution faible de (1)-(3) ce qui donne la régularité intérieure (i.e.,[pic]), et on a des frontières lisses et aussi un changement de conditions à la frontière. Les conditions non homogènes de Dirichlet (2) sont associées à la décomposition :

[pic]

Alors, la formulation faible (ou vibrationnelle) du problème (P) est de :
Rechercher [pic]tel que :

3. Discrétisation de Galerkin du problème : Pour l’implémentation, le problème (4) est discrétisé en utilisant la méthode standard de Galerkin ou[pic]et [pic]sont remplacées par des sous-espaces de dimensions finis [pic]et[pic], respectivement,
Soit [pic]une approximation de [pic]sur [pic](On définit [pic]comme étant un interpolant