Chapitre 1

LES RADICAUX D’INDICE n
1.1 Nombres r´els et puissances (rappels) e

Exercice 1.1 D´montrer que l’addition et la multiplication conf`rent ` l’ensemble des r´els une structure de champs e e a e ( corps commutatif) Exercice 1.2 Pour quelle(s) raison(s), l’ensemble des naturels muni de l’addition ne poss`de pas la structure de e groupe? Exercice 1.3 Effectuer et ` retenir! a 1. (a + b)2 = 2. (a − b)2 = 3. (a − b)(a + b) = 4. (a + b)3 = 5. (a − b)3 = 6. (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 7. (a − b)(a2 + ab + b2 ) = 8. (a + b + c)2 = Exercice 1.4 R´soudre les ´quations suivantes : e e 1. |x| = 4 2. |x| = −7 3. |x + 2| = 6 4. |x − 4| = −5 5. |x − 8| |x + 2| = 0 6. |x − 3| + |x| = 5 3

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 7. |x| − |x − 3| = 5 8. |x| − |x − 3| = 3 Exercice 1.5 Effectuer 1. a−1 a+3

4

−

a−3 a+1

2.

1 (a−1)2

+

1 (a+1)2

−

1 a2 −1

Exercice 1.6 Effectuer 1. 2.
−15ab2 −7a2 b a2 −9b2 c2 −4d2

. .

28a2 c 30ac2

3. 4.

a2 −4b2 a2 −9b2 a+2b a+3b

c−2d a−3b

a+b
1 1 a+b

1.2

Racines carr´es - Radicaux d’indice 2 (rappels) e

Exercice 1.7 √ Simplifier 180a18 b13 c26 = · · · Exercice 1.8 Pr´ciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent : e √ 1. x ; √ 2. ( − x) ; √ 3. x + 1 ; √ 4. (x − 3) ; √ (x − 1)2 ; 5. Exercice 1.9 Rendre le d´nominateur rationnel: e Exercice 1.10 Elever au carr´ e Exercice 1.11 Prouver que ∀ a, b ∈ Exercice 1.12 Ecrire sans radicaux les expressions suivantes √ √ 1. x + (x − 1)2 + (x + 1)2 √ 2. (x − 1)2 (2x + 3)2 √ 3. (x − 2)2 (x + 1)2 √ (2x−3)2 4. x2 IR+ 0 : √ √ 1 1 a+ b √ =√ +√ a ab b √ √
√ √ √a+b+√a−b a+b+ a−b

a+

b.

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N

5

1.3

Racines cubiques - Racines d’indice 3

D´finition e La racine cubique d’un nombre r´el x est le nombre r´el r tel que r3 = x. e e Exemples : • 2 est la racine cubique de 8 car 23 = 8 ; • −2 est la racine cubique de −8 car (−2)3 = −8 ; • 3 est la racine cubique de 27 car 33 = 27 ; • −3 est la racine