Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile
Casablanca

Ingénieurs de l’ Aviation Civile

Année 2008

Analyse

Intégrale de Lebesgue
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1

Tribu
Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si

(a) X 2 A,

(b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable).

Si A est une tribu sur X, on dit que (X; A) est un espace mesurable et un ensemble A 2 A est dit A mesurable ou simplement mesurable s’ n’ a pas de confusion à craindre. il y P(X) est la plus grande tribu sur X tandis que f;; Xg est la plus petite. Si A X, f;; A; Ac ; Xg est la plus petite tribu sur X contenant A. La tribu engendrée par une famille F de sous-ensembles de X est l’ intersection de toutes les tribus contenant F, elle est notée (F). Si A X, f;; A; Ac ; Xg = ( fAg) = ( fAc g). Exemple 1 La tribu engendrée par l’ ensemble de tous les singletons de X est l’ ensemble des sous-ensembles de X qui sont …nis ou dénombrables, ou qui sont de complémentaire …ni ou dénombrables. Si (X; A) et (Y; B) deux espaces mesurables. on note par A B la tribu sur X famille d’ ensembles suivante : A B := fA B : A 2 A et B 2 Bg , Y engendrée par la

on l’ appelle tribu produit de A et B. Si (X; T ) est un espace topologique, on note par BX := (T ) la tribu engendrée par les ouverts de X. BX est appelée la tribu borélienne de X..

2

Mesure
+

Soit (X; A) un espace mesurable. Une mesure sur (X; A) est une application : A ! R = [0; +1], telle que (;) = 0 et si (Ai )i2N est une suite d’ éléments de deux à deux disjoints, alors ( Si
1 [

Ai ) =

i=1

1 X i=1

(Ai )

(

additivité).

(Ai ) < +1 pour tout i 2 N . Exemple 2

est une mesure sur un espace mesurable (X; A), on dit que (X; A; ) est un espace mesuré. La mesure 1 S est dite …nie (resp. de probabilité, …nie) si (X) < +1 (resp. (X) = 1, X = Ai