Master 1 BEM MQEM
T. D. n◦ II . L'ACP pratique.
Exercice n◦ 1.
Une étude sur des fournisseurs de matériel informatique a conduit à apprécier le service, la qualité et le prix de quatre fournisseurs. Pour cela un expert a noté ces entreprises avec des notes allant de -3 à 3. Les résultats sont consignés ci-dessous
Ent Service Qualité Prix
E1 -2 3 -1
E2 -1 1 0
E3 2 -1 -1
E4 1 -3 2
1) Calculer le vecteur moyen des individus. Qu'en conclure?
2) Calculer la covariance entre x1 et x1. Que représente cette …afficher plus de contenu…

On veut faire une ACP centrée avec des poids uniformes.
5) Sur quelle matrice faut-il travailler? Véri�er qu'elle admet une valeur propre nulle. Qu'est ce que cela implique?
6) On donne λ1 = 61/8. En déduire λ2.
7) Calculer les pourcentages d'inertie. Quelle dimension retenez-vous?
8) Soient les vecteurs propres a1 = (1/2,−4/5, 3/10)′ et a2 = (0.65, 0.11,−0.75)′. Calculer les composantes principales.
9) Représenter les individus et les variables dans le plan principal (1, 2). Interpréter.
10) Calculer la corrélation entre les variables initiales et les composantes principales.
Exercice n◦ 2
Soit X = (x1,x2,x3) tel que
R =
 1 ρ −ρ ρ 1 ρ
−ρ ρ 1

avec −1 ≤ ρ ≤ 1. On veut faire une ACP centrée réduite de X.
1) Véri�er que R admet pour vecteur propre ξ1 …afficher plus de contenu…

1. Si R admet pour vecteur propre ξ1 alors il véri�e Rξ1 = λ1ξ1, λ1 ∈ R+. On calcule Rξ1 :
1√
3
 1 ρ −ρ ρ 1 ρ
−ρ ρ 1
 1
−1
1
 =
1√
3
 1− 2ρ
2ρ− 1
−2ρ+ 1
 = (1− 2ρ) ξ1 donc, ξ1 est bien vecteur propre de R pour la valeur propre λ1 = 1− 2ρ. Cette valeur propre étant positive (propriété de R matrice symétrique dé�nie positive) on doit avoir −1 ≤ ρ ≤ 1
2
.
2. Pour déterminer les autres éléments propres de R, on résout det (R− λI) = 0, ce qui équivaut à (1− λ)
(
(1− λ)2 − ρ2
)
− 2ρ2 (1− λ+ ρ) = 0
(1− λ+ ρ)
[
(1− λ) (1− λ− ρ)− 2ρ2
]
= 0
(1− λ+ ρ)
[
λ2 − λ (2− ρ) + 1− ρ− 2ρ2
]
= 0
On sait que λ1 = 1 − 2ρ est valeur propre de R. Ceci permet de calculer par