Le barycentre

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  • Publié le : 10 octobre 2010
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Cours sur les barycentres | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |I. Barycentre de deux points pondérés | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Théorème : | | || | | | | | | | | | | | | | | | | |Soient A et B deux points et α et β deux réels. | | | | | | | | | | | | | | | | | |Si α +β≠α β 0, alors il existe un unique point G tel que αGA + βGB=0. | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Définition : | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Soient A et B deux points et α et β deux réels tels que α +β ≠ 0. | | | | | | | | | | | | || |L'unique point G tel que αGA+ βGB= 0 est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients α β. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Remarque : | | | | | | | | || | | | | | | | | | | |On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β), | | | | | | | | | | | | | | |ou encore que G est le barycentre du système {(A, α); (B, β)}. | | || | | | | | | | | | | | |On note : G = bar {(A, α ); (B, β )} | | | | | | | | | | | | | | | | | |Si α = β, on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Théorème : | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Soit G le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β), avec α + β ≠0. || | | | | | | | | | | | | |Alors, pour tout point M du plan, on a : (α + β )MG = αMA + βMB | | | | | | | | | | | |D'où l'on déduit : MG = (α)÷( α + β)MA + (β)÷(α + β)MB | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | |Démonstration : | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |On sait que αGA + βGB = 0 | | | | | | | | | | | | | | |Donc, à l'aide de la relation de Chasles : α (GM +MA) + β(GM + MB) = 0 | | | | | | | | | |Donc : αGM + αMA + βGM + βMB =0 | | | | | | | | | | |Donc : (α + β)GM = -( αMA + βMB) | | | | | | | | | | | | | |Donc : ( α + β )MG = αMA + βMB | | | | |...
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