Le fonction expononciel

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  • Publié le : 20 novembre 2011
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La fonction exponentielle

I – Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1

Définition :
Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle. La résoudre sur unintervalle I c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.
Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur  telles que pour tout réel x : f’(x) = f(x). L’égalité f(0) =1 est appelée condition initiale.

Propriété : Preuve 1
S’il existe une fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur .

Théorème, définition : Preuve 2
Ilexiste une unique fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp.

II – Propriétés algébriques

Théorème : relation fonctionnellecaractéristique : Preuve 3
La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur  non nulle qui vérifie les conditions :
• Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)
• f’(0) = 1

Propriétés :Preuve 4
Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :
• [pic]
• [pic]
• [pic]

Remarque :
Pour tout réel a : [pic]. Donc pour tout réel a, [pic].

Notations :
Pour nentier [pic].
On pose e = exp(1) alors exp(n) = en.
Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose pour tout réel x : exp(x) = ex.
Ainsi :
• [pic]
• [pic]• [pic]
• [pic]
• [pic]

III – Etude de la fonction exponentielle

Théorème : Preuve 5
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Propriétés : Preuve 6
Pour tousréels x et y :
• [pic]
• [pic]

Théorème : Preuve 7
[pic]

Théorème : Preuve 8
• [pic]
• Pour x proche de 0 [pic]. ([pic] est l’approximation affine de exp au voisinage de 0).Théorème : Preuve 9
[pic] ; on admet que ce théorème se généralise et on retient que « à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur les puissances de x ».

Exemples :
[pic] 

[pic]....
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