La fonction exponentielle

I – Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1

Définition :
Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle. La résoudre sur un intervalle I c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.
Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur  telles que pour tout réel x : f’(x) = f(x). L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

Propriété : Preuve 1
S’il existe une fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur .

Théorème, définition : Preuve 2
Il existe une unique fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp.

II – Propriétés algébriques

Théorème : relation fonctionnelle caractéristique : Preuve 3
La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur  non nulle qui vérifie les conditions : • Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b) • f’(0) = 1

Propriétés : Preuve 4
Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif : • [pic] • [pic] • [pic]

Remarque :
Pour tout réel a : [pic]. Donc pour tout réel a, [pic].

Notations :
Pour n entier [pic].
On pose e = exp(1) alors exp(n) = en.
Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose pour tout réel x : exp(x) = ex.
Ainsi : • [pic] • [pic] • [pic] • [pic] • [pic]

III – Etude de la fonction exponentielle

Théorème : Preuve 5
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Propriétés : Preuve 6
Pour tous réels x et y : • [pic] • [pic]

Théorème : Preuve 7
[pic]

Théorème : Preuve 8 • [pic] • Pour x proche de 0 [pic]. ([pic] est l’approximation affine de exp au voisinage de 0).

Théorème : Preuve 9
[pic] ; on admet que ce théorème se généralise et on retient que « à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur les puissances de x ».

Exemples :
[pic]

[pic].