Amérique du nord mai 2004. Commun à tous les candidats Partie I

8 points

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle : (En) y ' + y =

xn –x e . n! 1° On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur IR , vérifient, pour tout x réel : g (x)= h(x) e–x . xn . a) Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, h '(x) = n! b) En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la fonction g ? 2° Soit ϕ une fonction dérivable sur IR . a) Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕ − g est solution de l’équation : (F) y ' + y = 0. b) Résoudre (F). c) Déterminer la solution générale f de l’équation (En). d) Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0) = 0. Partie II Le but de cette partie est démontrer que nlim → +∞

∑ k1! = e (on rappelle que par convention 0 ! = 1). k=0 n

1° On pose, pour tout x réel, f0(x) = e–x , f1(x) = x e–x . a) Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y ' + y = f0. b) Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y ' + y = fn–1 vérifiant fn(0) = 0. xn –x En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : fn(x) = e . n! 2. Pour tout entier naturel n, on pose: In = ⌠10 fn(x) dx. (on ne cherchera pas à calculer In) ⌡ a) Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement : xn 1 . En déduire que 0 ≤ In ≤ , puis déterminer la limite de la suite (In). b) 0 ≤ fn(x) ≤ n! (n +1) ! 1 –1 b) Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : Ik − Ik–1 = − e , k! puis déterminer la limite de la suite (In). c) Calculer I0 et déduire de ce qui précède que : In = 1 –

∑ k=0 n

e–1 . k!

d) En déduire finalement : nlim → +∞

∑ k1! = e. k=0 n

CORRECTION

Partie A

xn –x (En) y '