Les nombres complexes

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  • Publié le : 17 novembre 2011
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NOMBRES COMPLEXES
1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i 2. √ , z3 = 1 + i 3 √ 1+i 3 , z4 = . 1−i

Calculer les nombres complexes suivants : w1 = (1 + i)
21

,

w2 =

√ 1+i 3 1−i

20

. 1 + ix . 1 − ix 1 + ix , avec 1 − ix

3.

a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e

b) Montrer que tout nombrecomplexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4.

1 + ix ont des images align´es. Interpr´tation g´om´trique? e e e e 1 − ix z−i . z+i

Soit z un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. Soit w = √ D´terminer les nombres entiers n tels que ( 3 + i)n ∈ R. e D´terminer z ∈ C pour que les nombres z, e 1 1 − z aient le mˆme module. e zMontrer que |w| < 1. Interpr´tation g´om´trique ? e e e 5. 6. 7. 8.

Comment faut-il choisir z pour que les images de z, z 2 , z 4 soient align´es? e Soit u et v deux nombres complexes. Montrer que : |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) .

Interpr´tation g´om´trique ? e e e 9. R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 2 = −11 10. 11. 12. , b) z 2 = −1 + 3i , c) z 2 = 9 + 5i .R´soudre dans C l’´quation : z 2 − z + 7 = 0. e e R´soudre dans C l’´quation : z 2 − (5 − 14i)z − 24 − 10i = 0. e e Soit ω un nombre complexe quelconque. R´soudre l’´quation : e e z 2 − (2 + iω)z + 2 + iω − ω = 0 .

13.

R´soudre dans C les ´quations suivantes : e e a) z 3 + 1 = 0 , b) z 4 − i = 0 , c) z 8 + 1 = 0 . 1

14. Trouver une condition sur le param`tre complexe a pour que l’´quation z + z2 = a e e ¯ admette une solution r´elle. Lorsque cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15. 16. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ . b) Montrer qu’il existe des constantes A, B et C (que l’on d´terminera) telles que e sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C . 17. Pour θ =mπ avec m ∈ Z, montrer que sin(2p + 1)θ =1+2 sin θ Que se passe-t-il pour θ = 0?
p

cos 2kθ .
k=1

2

Corrig´ e
√ 2 1. On a z1 = x1 + iy1 , avec x1 = y1 = 1. Donc |z1 | = x2 + y1 = 2. Un argument θ1 de z1 1 est tel que √ √ 1 x1 2 y1 1 2 =√ = cos θ1 = et sin θ1 = =√ = . |z1 | 2 |z1 | 2 2 2 π On a donc θ = (modulo2π). 4 On a z2 = z1 . Donc |z2 | = |z1 | = √ 2 et arg z2 = − arg z1 = − π(modulo 2π) . 4

√ 2 On a z3 = x3 + iy3 , avec x3 = 1 et y3 = 3. Donc |z3 | = x2 + y3 = 2. Un argument θ3 de z3 3 est tel que √ x3 1 y3 3 cos θ3 = = et sin θ3 = =√ . |z3 | 2 |z3 | 2 π On a donc θ = (modulo 2π). 3 z3 On remarque que z4 = . On a donc z2 |z3 | = On a aussi arg z4 = arg z3 − arg z2 = √ |z3 | 2 =√ = 2. |z2 | 2 π π 7π + = (modulo 2π) . 3 4 12

21 2. En utilisant l’exercice pr´c´dent, ona w1 = z1 . Donc e e

|w1 | = |z1 |21 = et



2

21

√ = 210 2 ,

π (modulo 2π) . 4 On cherche un argument plus simple. En remarquant que arg w1 = 21 arg z1 = 21 5π 21π = 4π + , 4 4 on a donc arg w1 = Alors √ 5π 5π w1 = 210 2 cos + i sin 4 4 √ √ √ 2 2 = 210 2 − −i 2 2 = −210 (1 + i) = −1024 − 1024i . 3 5π (modulo 2π) . 4

20 En utilisant encore l’exercice pr´c´dent, on a w2 = z4 .Donc e e

|w2 | = |z4 |20 = et



2

20

= 210 ,

35π 7π = (modulo 2π) . 12 3 On cherche un argument plus simple. En remarquant que arg w2 = 20 arg z4 = 20 π 35π = 12π − , 3 3

on a donc arg w2 = − Alors

π (modulo 2π) . 3

π π w2 = 210 cos − + i sin − 3 3 √ 1 3 = 210 −i 2 2 √ √ = 29 (1 − i 3) = 512 − 512i 3 .

3. a) En remarquant que les nombres 1 + ix et 1 − ix sontconjugu´s, ils ont le mˆme module e e et |1 + ix| |w| = =1. |1 − ix| b) Soit w un nombre complexe de module 1 et d´ff´rent de −1. R´solvons l’´quation w = e e e e On obtient w(1 − ix) = 1 + ix , puis ix(1 + w) = w − 1 , et puisque w = 1, on trouve finalement x= 1w−1 . i w+1 1 + ix . 1 − ix

Il reste ` voir que le nombre x trouv´ est bien r´el. Pour cela on multiplie le num´rateur et le a e e e...
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