∞

Autour de ζ(2) =

p= 1

1 π2 = p2 6

I. Par la méthode de Wallis

1. On pose Cn =

π 2
¡ 

cosn (t ) dt .

0

a) Calculer C0 et C1. b) Pour n 2, exprimer Cn en fonction de Cn−2.

c) En déduire les valeurs de C2n et de C2n+1. d) Calculer lim n→+∞ C2 n . C2 n + 1 π 2 2n + 1 n ¢

e) En déduire :
¡

(2n)!! ~ (2n − 1)!!

2. On pose In =

π 2 2
0

t cos2 n (t ) dt et un = 2 (∀n

p =1

1 . p2

a) Démontrer que un b) Pour tout n

1). En déduire que (un) admet une limite ξ.

1, exprimer In en fonction de In−1.

c) En déduire que

π 4

π6 (2n)!! In. − un = 6 (2n − 1)!! π2 1 π2 et en déduire que ξ = . 4 2n + 1 6

d) Démontrer que In

II. Par le lemme de Riemann-Lebesgue

Le lemme : Soit ƒ une fonction de classe C1 sur un intervalle [a, b] à valeurs dans . Soit λ un réel. Alors lim λ →+∞


1. Démontrer le lemme pour ƒ de classe C1. (On pourra intégrer par parties) 2. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n ∈ n p =1 n


*

:

3. Démontrer que

cos( pt ) = Re

e

( n + 1) it

−e e −1 it it

pour tout t ≠ 2kπ. En déduire que : π 

p =1

1 1 = Re 2 2π p

0

t ( t − 2π ) i ( n + 1) t e − e it dt it e −1 t (t − 2 π) se prolonge en une fonction de classe C1 it e −1
∞


4. Démontrer que la fonction ƒ définie sur ]0, π] par ƒ(t) = sur [0, π].

5. À l'aide du lemme, déduire des questions précédentes que :

Autour de zêta(2)

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b a

e iλt ƒ (t ) dt = 0.

π
0

(at 2 + bt ) cos(nt ) dt =

1 n2

(

)

p =1

1 π2 . = p2 6

G. COSTANTINI

III. Par la méthode de Holme et Papadimitriou π 1. Démontrer que pour tous θ ∈ ]0, [ et n ∈ * : 2 n 

sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2. On considère, pour n ∈

2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ

j =0
*

(

)

n− j

[On pourra utiliser la formule de Moivre] , le polynôme Pn défini par : n 

Pn =

2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 X n − j

j =0

Démontrer que les n racines