Résumé Limites Continuité Dérivabilité TTP

Les Résumés de Tonton Paul
I. Limites, continuité, dérivabilité
A) Continuité et limites
1°/ Définitions
Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si : pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε
Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies.

lq

Définition 2 : Soit I un intervalle, a un élément de I ; on dira que f : I − a → ℜ admet un réel l comme limite en a si et seulement si pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η et x ≠ a implique f ( x ) − l ≤ ε
NB : Il y a équivalence entre f est continue en a et f admet en a la limite f ( a ) . Une limite, lorsqu’elle existe, est unique. sin x est 1. x Lorsqu’une fonction f admet une limite l en un point a, on peut « prolonger » la fonction en a en imposant f ( a ) = l . La nouvelle fonction est alors continue en a, et s’appelle

Exemple : On peut démontrer que la limite en 0 de la fonction

« prolongement par continuité de f en a ».

2°/ Extensions de la notion de limite
1- On dit que f a une limite finie l à l'infini positif si et seulement si pour tout ε > 0 il existe un réel A tel que x ≥ A implique f ( x ) - l ≤ ε

lq

2- On dit que f : I − a → ℜ tend ver s + ∞ en un point a de I si et seulement si pour tout réel A, il existe un réel η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) ≥ A

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3°/ Opérations algébriques, limites, continuité.
Toutes les opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication par un réel, multiplication entre fonctions, division par une fonction ne s'annulant pas au point considéré sont compatibles avec les notions de limite et continuité. Le lecteur est invité à créer des énoncés analogues avec des limites.

B) Dérivabilité
1°/ Définition et interprétation géométrique.
Définition 3 : Une