Mathématiques Bac S

Limite et continuité
Cette fiche présente des généralités sur les limites pour les suites et les fonctions et la notion de continuité pour les fonctions. Les résultats présentés ici sont très importants mais aussi très intuitifs. Les comprendre en s'exerçant sur des cas pratiques sera bien plus utile que de les apprendre par cœur...

1. Généralités sur la limite si u est une suite croissante et non majorée, alors u tend vers . si u est une suite décroissante et non minorée, alors u tend vers  .
Les résultats qui suivent sont encore valables si f et g sont deux suites.
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f
À partir des limites en a (réel ou  ) des fonctions et g on peut déterminer la limite en a des fonctions f  g ,

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f f .g et sauf dans quatre cas appelées formes indéterminées : g  
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 0 ","  ".
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"  ","0  ","
0 

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2. Limites et inégalités
Si f  g et lim g(x)   alors lim f (x)  . xa xa

xa

xa

Si f  g et lim g(x)   alors lim f (x)  .
Si u  f  v et lim u(x)  L , lim v(x)  L alors lim f (x)  L (théorème des gendarmes).

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xa

xa

Si f  L  u et lim u(x)  0 alors lim f (x)  L .
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 xa xa

Remarque : les résultats marchent encore lorsque l’inégalité n’est vraie seulement que dans un voisinage de a.
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3. Asymptote
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Dire que la droite d’équation y  ax  b (avec a  0 ) est asymptote oblique à la courbe représentative de f en
 (resp. ) signifie que lim  f (x)  (ax  b)  0 (resp. lim  f (x)  (ax  b)  0 ) x 

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xa

x

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 4. Limite de composées
Limite de la composée de deux fonctions
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Si lim g(x)  a et lim h(x)  b alors lim g oh(x)  a . xb xc
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xc

Limite de la composée d’une suite et d’une fonction
Si lim un  a et lim f (x)  b alors lim f (un )  b . n 

xa

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n

5. Continuité