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Loi exponentielle et processus de Poisson Homogéne

10294 mots 42 pages
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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l�Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti�que
UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER BISKRA
FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
Mémoire présenté en vue de l�obtention du Diplôme :
MASTER en Mathématiques
Option : Statistique
Par
CHENINI Manal
Titre :
Loi exponentielle et processus de Poisson homogéne Membres du Comité d�Examen :
Dr. BENELMIR Imen UMKB Président
Dr. DJABER Ibtissem …afficher plus de contenu…

Quelle est l�intensité du processus de Poisson impliqué dans la modélisation ?
Réponse. Si, en moyenne, il y a une arrivée de patient toutes les douze minutes, alors il y a, en moyenne, cinq arrivées par heure, c�est-à-dire cinq arrivées par unité de temps.
Par conséquent, l�intensité est � = 5.
39Chapitre 2. Processus de Poisson homogéne
Question 2.
Si le préposé aux admissions prend 3 minutes pour remplir le dossier d�un patient, quelle est la probabilité qu�il ait le temps de se reposer entre l�arrivée de deux patients sachant qu�il était inoccupé lors de l�arrivée du premier des deux ?
Réponse. Nous savons que le temps d�attente entre deux arrivées suit une loi exponentielle d�espérance 1
�
=
1
5
. Or, puisque
3minute = 3� …afficher plus de contenu…

Nn � �np
�n
! Z en loi, quand n!1; d�après le théorème de la limite centrale, et
Nt �N[t]p
�[t]
�
�[t]p
�[t]
;
qui tend en probabilité vers zéro quand t!1 puisque
P(
�np
�n
> �) = P(�n > � p �n)
= P(�1 > � p �n)
! 0, quand n!1:
Donc
Nt �N[t]p
�[t]
! 0 en probabilité quand t!1:
Finalement :
Nt � �tp
�t
=
N[t] � �[t]p
�[t]
� r [t] t +
Nt �N[t]p
�t
� r [t] t + p �
[t]� tp t ; et on sait que si Xn ! X en loi, Yn ! 0 en probabilité, alors Xn + Yn ! X en loi.
43Chapitre 2. Processus de Poisson homogéne
2.5.2 Estimation de l�intensité d�un processus de Poisson par maximum de vraisemblance
Soit (Nt)t�0un processus de Poisson homogène, dont l�intensité � > 0 est donc la seul paramètre du modèle. En pratique, � est inconnue et a�n de connaitre notre

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