CCP MP I - ann´e 2000 e
I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es puisque e e e e f = (f − fn ) + fn . Enfin on a dit que si ε > 0 est donn´, il existe un rang n0 tel que e 1) ∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N, ∀n ≥ n0 , |fn(x) − fn+p (x)| ≤ ε Faisons encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε pour n ≥ n0. (on n’avait pas le droit d’´crire ceci avant !). e 3) Il ne reste plus qu’` voir si f est dans le mˆme espace, ie si f est continue: or c’est du cours (le reste aussi), a e ie une limite uniforme d’applications continues est continue. Red´montrons-le: e |f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fn (x)| + |fn(x) − fn (a)| + |fn(a) − f(a)| ≤ 2N∞ (f − fn) + |fn (x) − fn(a)| Si ε > 0 est donn´, soit n fix´ tel que N∞ (f − fn ) ≤ ε/3. Par continuit´ de fn , il existe un voisinage de a e e e dans lequel |fn (x) − fn (a)| ≤ ε/3. On a dans le mˆme voisinage |f(x) − f(a)| ≤ ε ce qui prouve la continuit´ e e de f en a: c’est vrai pour tout a, cqfd. u(x) = e0 = 1 si x < 1 . Cette fonction ´tant e 4) La limite simple de (un) est la fonction u d´finie par e u(1) = e1 = 1 0 discontinue, d’apr`s ce qui pr´c`de la suite (un ) qui est dans C ([0, 1], R) ne peut ˆtre de Cauchy. e e e e 5)) Par le th´or`me de convergence monotone (puisque (un) est une suite d´croissante d’applications continues, e e e x de limite continue par morceaux, la suite (vn ) converge bien vers la fonction v : x → x = 0 u. n n La convergence est uniforme, car on peut majorer