Lyc´e Dominique Villars e ECE 2

Exercices

REVISIONS - INTEGRATION sur un segment [a, b]

Exercice 1 (d’apr`s EML 2013). e On consid`re l’application g : R −→ R d´finie, pour tout t ∈ R, par : e e g(t) =

−t ln(t) si t > 0
0
si t 0

1. Montrer que g est continue sur R.
On d´finit sur R, la fonction f par : e 1

f (x) =

g(t) dt x 2. Justifier que f est de classe C 1 sur R et ´tudier ses variations sur R. e 3. Soit x

0. A l’aide d’une int´gration par parties, d´terminer f (x) en fonction de x. e e

4. En d´duire l’expression de f (x) en fonction de x lorsque x e 5. On d´finit la fonction h par : e 0.

1

h(x) =
0

g(t − x) dt

D´terminer l’expression de h(x) en fonction de x. e Exercice 2 (EML 2004).
On consid`re l’application f : R → R d´finie, pour tout t ∈ R par : e e f (t) = √

2et
1 + t2

1. Dresser le tableau de variation de f sur R comprenant les limites de f en −∞ et en +∞.
√
´
1 + t2
2. (a) Etablir, pour tout t ∈ [0, +∞[ : et − t − t2 > 0 et 1 + t
(b) En d´duire: e ∀t ∈ [0, +∞[ ,

f (t) > t

3. On consid`re l’application G : R → R d´finie, pour tout x ∈ R par : e e
+x

G (x) =

f (t) dt
−x

(a) Montrer que G est impaire.
(b) Montrer que G est de classe C 1 sur R et calculer G′ (x) pour tout x ∈ R.

(c) Quelle est la limite de G (x) lorsque x tend vers ∞ ?
´
(d) Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G sur R comprenant les limites de G en −∞ et en +∞.

Exercice 3 (EDHEC 2011).
On consid`re la fonction f d´finie sur R+ par : f (x) = e e

2 x2 x
0

t
1
dt si x > 0 et f (0) = . et + 1
2

1. (a) Montrer que : ∀x ∈]0, +∞[, ∀t ∈ [0, x] ,
1
ex + 1

1 et + 1

1
.
2

(b) Etablir alors que, pour tout r´el x strictement positif, on a : e ex

1
+1

f (x)

1
.
2

(c) En d´duire que la fonction f est continue (` droite) en 0. e a
2. (a) Montrer que f est de classe C 1 sur ]0, +∞[, puis v´rifier que,