Analyse - chapitre 2

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Présentation des suites et récurrence

Notion de suite : Une suite réelle est une application de N (ou parfois de N∗ ) à valeurs dans R. La suite
N −→ R est notée de plusieurs façons : n −→ un (un )n∈N
I

,

(un ) ou parfois u

Suites arithmétiques et géométriques

Soit n ∈ N∗ et q ∈ R\{1}. Alors

1 + 2 + 3 + ... + n = ...... ...... 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn = ......
Suite arithmétique de raison r dénition par une relation de récurrence
......... un+1 = q × un

Suite géométrique de raison q = 1

formule explicite du terme de rang n

......... un = u0 + n r

somme de n + 1 termes consécutifs : up +up+1 +. . .+up+n =

(up + up+n ) (n + 1) 2

up

(1 − q n+1 ) 1−q

Théorème 1

• Si q est un réel tel que q > 1 alors • Si −1 < q < 1 alors n−→+∞ n−→+∞

lim q n = +∞

lim q n = 0

• Si q ≤ −1 alors la suite (q n )n∈N n'a pas de limite.

Analyse - chapitre 2

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II
II.1

Comportement global d'une suite
Monotonie d'une suite

Dénition 1
• On dit qu'une suite (un )n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 ≥ un • On dit qu'une suite (un ) est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 < un • On dit que la suite u est constante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 = un • Une suite est dite monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante.

Remarque : pour étudier le sens de variation d'une suite, on pourra étudier le signe de la diérence un+1 − un

II.2

Majorée, minorée, bornée

Dénition 2
• On dit qu'une suite (un )n∈N est majorée ssi il existe un réel M tel que pour tout entier n ∈ N, un ≤ M . • On dit qu'une suite (un )n∈N est minorée ssi il existe un réel m tel que pour tout entier n ∈ N, un ≥ m . • Une suite est dite bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Proposition 2

n ∈ N, |un | ≤ k .

Une suite (un )n∈N est bornée ssi il existe un réel positif k tel que pour