ANNUITES

I Notions d’annuités

a.Définition

Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux.
Le processus de versements dépend du montant de l’annuité, de l’intervalle de temps séparant le versement de deux annuités, du nombre de versements ainsi que de la date de versement de la première annuité.
Deux cas peuvent se présenter : -annuités constantes
-annuités non constantes

En d’autres termes, il s’agit d’un versement régulier d’un certains capital, qui capitalisé, atteint une valeur acquise croissante au fur et à mesure que le temps passe.

b. Bref rappel sur les suites

Dans cette leçon, nous considérerons des suites dont les indices de définition seront des entiers naturels, et dont les valeurs seront données dans l’ensemble des réels.

*Suite arithmétique

Une suite arithmétique de terme général raison r, et le numéro n du terme considéré.

est définie par la donnée du premier terme

, la

Nous obtenons ainsi l’expression :

Considérons désormais la somme de plusieurs termes d’une suite arithmétique.
Soit S la somme de n termes définie par

Soit,

Du fait de la commutativité, cette somme peut être exprimée en sens inverse :

En additionnant les deux équations, nous obtenons donc,

Soit,

C’est ainsi qu’en connaissant uniquement le premier terme d’une suite ainsi que le nombre de termes et la raison de la suite nous pouvons connaître la somme.

*Suite géométrique

Nous définissons une suite géométrique de terme général terme , de la raison q et du numéro du nième terme n.

Nous obtenons donc l’expression :

par la donné de son premier

Là aussi nous pouvons déterminer la somme d’une suite de n termes d’une suite géométrique.
Tout d’abord, considérons l’expression suivante appelée somme télescopique ;

Si l’on développe cette expression nous obtenons le résultat suivant :

Soit,

Ainsi,

Nous pouvons ainsi formaliser le tout par :