Groupes symétriques et alternés

Table des matières
1 Groupe Sn 2 Cycles
2.1 2.2 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4
4 5

3 Classes de conjugaison 4 Signature 5 Groupe alterné
5.1 5.2

8 9 10

Groupe An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Simplicité
6.1 6.2 6.3

12

Sous-groupe normaux de An et Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Centres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Résolubilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

1 Groupe Sn
Soit n un entier naturel non nul.

Dénition On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble {1, ... ,n} c'est à dire l'ensemble des bijections de {1, ... ,n} vers {1, ... ,n}.

Proposition 1.0.1 (Sn ,◦) est un groupe. Démonstration L'identité est une permutation de {1, ... ,n} donc Sn n'est pas vide.
La composée de deux bijections est une bijection donc on a une loi interne. La composition est clairement associative. L'identité est l'élément neutre pour la composition. Enn, tout élément de Sn est inversible d'inverse sa fonction réciproque. ♦

Dénition Le groupe Sn est appelé groupe symétrique de degré n. Propriété 1.0.2 Sn est d'ordre n !. Démonstration Soit σ appartenant à Sn . σ (1) peut être n'importe quel des 1≤i≤n. On a donc n valeurs possibles. σ (2) peut être n'importe quel des 1≤i≤n hormis la valeur σ (1) puisque σ est injective. On a donc n-1 valeurs possibles, ... On arrive ainsi à n×n-1× ... ×1=n ! bijections possibles. ♦ Propriété 1.0.3 1)S1 et S2 sont abéliens.
2)Pour n≥3, Sn n'est pas abélien.

Démonstration 1)S1 = {Id} donc S1 est abélien. S2 est composé de l'identité et de

la permutation échangeant 1 et 2 donc S2 est abélien donc S2 est abélien.