Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-1900 – A10
C3 – Solutions
204. a) On reconnaˆıt que v et T sont fonctions de la variable t, en heures. Les observations ont lieu en un instant t not´e t = t0, par exemple. On a comme taux instantan´es (mod´elisation, id´ealisation math´ematique) : dv dt
(t0) = 0.5 , dT dt
(t0) = −1.
Dans les repr´esentations graphiques, les “ ondulations ” indiquent qu’on ne connaˆıt pas la fonction et qu’on la repr´esente de fa¸con quelconque. t v t0 Pente 0.5
4 t
T
t0
–15 Pente –1
b) On demande le taux instan- tan´e dC dt (t0), qui est une d´e- riv´ee de fonction compos´ee. t C v T
On a dC dt
=
@C
@v
dv dt +
@C
@T dT dt
,
dC dt (t0) =
@C
@v
(4,−15)
dv dt (t0) +
@C
@T
(4,−15)
dT dt (t0)
= (72)(0.5) + (−26.45)(−1)
= 62.45, unit´es de C par unit´e de t ou k cal/m2/h/h.
MAT-1900 – A10 C3 – Solutions 1/ 5
Pour les d´eriv´ees partielles rencontr´ees ci-dessus, voici les d´etails :
Cv =  5 pv − 1(33 − T),
Cv(4,−15) = 5
2 − 1(33 + 15) = 72,
CT = (10.45 + 10pv − v)(−1)
CT (4,−15) = −(10.45 + 20 − 4) = −26.45.
205. Fixons x, y, z 2 R et consid´erons la fonction de la variable t : g(t) = f(tx, ty, tz).
D’une part, `a l’aide de la d´erivation des fonctions compos´ees, dg dt
=
@f
@x
d dt (tx) +
@f
@y d dt
(ty) +
@f
@z d dt
(tz)
dg dt =
@f
@x x +
@f
@y y +
@f
@z z =) dg dt
(1) =
@f
@x x +
@f
@y y +
@f
@z
z.
D’autre part, on a que : g(t) = tNf(x, y, z), dg dt
= NtN−1f(x, y, z), dg dt
(1) = Nf(x, y, z), d’o`u le r´esultat.
Remarque importante
Quand on fixe x, y, z afin de consid´erer g(t) = f(tx, ty, tz), on peut conceptualiser les choses ainsi :
– on consid`ere notre fonction f comme f(u, v,w), o`u les symboles u, v,w remplacent les sym- boles x, y, z ;
– la d´eriv´ee @f
@u (u, v,w) est la mˆeme expression que celle obtenue en rempla¸cant x, y, z par u, v,w dans @f
@x (x, y, z) ;
– de mˆeme pour les autres d´eriv´ees ;
–