Modèle Black-Scholes
Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type option européenne.
Importance historique et économique
Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très rapidement une influence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés financiers. Dès 1977, Oldrich Vasicek s'en inspirait pour fonder la théorie moderne des taux d'intérêt.
Merton et Scholes reçurent en 1997 le "prix Nobel d'économie" pour leurs travaux (Fisher Black était, lui, malheureusement mort en 1995).
Formule de Black-Scholes
La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'une option à partir des cinq données suivantes : * la valeur actuelle de l'action sous-jacente * le temps qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années) * le prix d'exercice fixé par l'option * le taux d'intérêt sans risque * la volatilité du prix de l'action
Le prix théorique d'une option d'achat (call), qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off :
Le prix de l'option est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé , soit la formule de Black-Scholes :

De même,le prix théorique d'une option de vente (put), de pay off est donné par :

avec * la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite , c'est-à-dire * *
La formule de Black-Scholes repose sur