| TRAVAUX DIRIGES 3 CORRIGE |1 S |10 / 11 |
|SECOND DEGRE 3 |

A Une chambre sous les toits.

B

N P

A M H Q C

1. Calculons MN.

La propriété de Thalès appliquée dans les triangles MAN et AHB s’écrit : [pic] Portons les valeurs dans cette égalité : [pic] Donc [pic]

Calculons maintenant CQ.

La propriété de Thalès appliquée dans les triangles CQP et CHB s’écrit : [pic] Portons les valeurs dans cette égalité : [pic] Donc [pic]

2 Nous pouvons maintenant calculer l’aire de MBPQ en fonction de x.

[pic] En résumé : [pic]

2. La courbe représentative de S est une parabole dont les branches sont tournées vers le bas. Elle a pour axe la droite d’équation[pic] et pour sommet le point [pic]

3. Conclusion : l’aire est maximale pour un choix de x = 2 et cette aire vaut [pic]

B Aire de rectangles de même périmètre.

On considère tous les rectangles possibles de périmètre P. Chaque rectangle est représenté par le couple ( x , y ) et son aire vaut évidemment A(x,y) = xy. Par ailleurs puisque [pic], on tire [pic]

1. Exprimons A(x,y) en fonction de la seule variable x. [pic]

2 La courbe représentant A est une parabole dont les branches sont tournées vers le bas. Elle a pour axe la droite d’équation[pic] et pour sommet le point[pic] L’aire du rectangle est donc maximale lorsque x vaut P/4. Mais dans ce cas l’autre coté, y, vaut lui aussi P/4 et l’aire est égale[pic].

Conclusion. A périmètre égal, le plus grand rectangle est le carré.