1ère ES - Cours

M. Delgado

Fonctions polynômiale du second degré
I Forme réduite et forme canonique
1) Définition
Une fonction polynômiale P du second degré, ou trinôme du second degré, est définie sur R et s’écrit sous la forme réduite P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombre réels quelconques avec a = 0. b Une fonction polynômiale P du second degré peut aussi s’écrire sous forme canonique P (x) = a(x −α)2 +β avec α = − . 2a

2) Interprétation graphique
Propriété : la représentation graphique d’un trinôme du second degré est une parabole de sommet S(α; β), orientée vers le haut ou vers le bas ; on a donc deux cas de figure : Si a > 0 α Si a < 0 α β

x P (x)

−∞ +∞

+∞ +∞

x P (x)

−∞

+∞

β

−∞

−∞

II Discriminant
Définition : On appelle discriminant du polynôme P (x) = ax 2 + bx + c le nombre ∆ = b 2 − 4ac.

1) Racines
Déterminer les racines d’un polynôme P (x) = ax 2 + bx + c revient à résoudre l’équation P (x) = 0 soit ax 2 + bx + c = 0. – si ∆ < 0, l’équation n’a pas de solution dans R ; b – si ∆ = 0, l’équation admet une unique solution α = − dite racine double ; 2a −b − ∆ −b + ∆ – si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions distinctes : x 1 = et x 2 = . 2a 2a

2) Forme factorisée
– si ∆ < 0, le polynôme n’a pas de racines et ne peut être factorisé en produit de polynômes du premier degré ; – si ∆ = 0, le polynôme admet une unique racine et P (x) = a(x − α)2 ; – si ∆ > 0, le polynôme admet deux racines distinctes et P (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ).

3) Signe
– si ∆ < 0, P (x) est du signe de a et ne s’annule jamais ; x P (x) −∞ signe de a +∞ – si ∆ = 0, P (x) est du signe de a et s’annule en α = − x P (x) −∞ signe de a α 0 b ; 2a

+∞ signe de a

– si ∆ > 0, on a le tableau de signes suivant : x P (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ) −∞ signe de a x1 0 x2 0 +∞ signe de a

signe de − a

Remarque : dans les cas simples il n’est pas nécessaire de calculer le discriminant, par exemple les racines du polynôme P (x) = 9x