Métropole & La Réunion septembre 2009
EXERCICE 4 : (5 points)
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. (a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
(b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11.
(c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11.
2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p.
On note d n le PGCD de A n et A n + 1.
(a) Montrer que d n divise 2 n.
(b) Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p. Justifier.
(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la parité de d n en fonction de celle de p.
En déduire le PGCD de 2 2009 + 2009 et 2 2010 + 2009.
CORRECTION
1. (a) 2009 = 11 ´ 182 + 7 donc le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11 est 7.
(b) deux solutions sont possibles :
Première solution :
2 4 = 16 donc 2 4 º 5 (11) donc (2 4 ) 2 º 5 2 (11) soit 2 8 º 3 (11)
2 10 = 2 8 ´ 2 2 donc 2 10 º 3 ´ 4 (11) soit 2 10 º 1 (11)
Autre solution plus courte ;
Petit théorème de Fermat : Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p – 1 º 1 [p]
11 est un nombre premier et 11 ne divise pas 2 donc d'après le petit théorème de Fermat : 2 11 – 1 º 1 [11]
(c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11.
2 2009 = 2 2000 ´ 2 9 = (2 10 ) 200 ´ 2 9 donc 2 2009 º 2 9 (11) or 2 8 º 3 (11) donc 2 9 º 3 ´ 2 (11) soit 2 9 º 6 (11)
2 2009 º 6 (11)
2009 º 7 (11) donc 2 2009 + 2009 º 13 (11)
2 2009 + 2009 º 2 (11)
Le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11 est 2.
2. (a) A n = 2 n + p et A n + 1 = 2 n + 1 + p = 2 ´ 2 n + p
A n + 1 = 2 n + 2 n + p donc A n + 1 – A n = 2 n d n est le PGCD de A n et A n + 1 donc d n est le PGCD de A n et A n + 1 – A n donc d n est le PGCD de A n