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Universit´ des Sciences et Technologies de Lille e U.F.R. de Math´matiques Pures et Appliqu´es e e Bˆt. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex a

Introduction au Calcul des Probabilit´s e
Probabilit´s ` Bac+2 et plus si affinit´s. . . e a e

Charles SUQUET

DEUG MIAS 2 et MASS 2

2002–2003

Table des mati`res e
1 Espaces Probabilis´s e 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . ´e 1.2 Ev´nements . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La probabilit´ comme fonction d’ensembles e 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Remarques sur le choix d’un mod`le . . . . e 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conditionnement et ind´pendance e 2.1 Probabilit´s conditionnelles . . . . . . . . e 2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propri´t´s .. . . . . . . . . . . . . ee 2.1.3 Quelques exemples . . . . . . . . . 2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Ind´pendance de deux ´v´nements e e e 2.2.2 Ind´pendance mutuelle . . . . . . . e ´ 2.2.3 Epreuves r´p´t´es . . . . . . . . . . e ee 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 12 16 18 27 27 27 29 32 34 34 36 38 39 47 47 48 48 48 50 53 53 53 53 54 56 5762

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3 Variables al´atoires discr`tes e e 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.1 Variable al´atoire discr`te . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . . . . . . e e 3.2.3 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Loisdiscr`tes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´els . . e 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´om´triques . . . . . . . . . . . . . e e 3.3.5 Lois g´om´triques . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.3.6 Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Surle caract`re universel de la loi de Poisson . e i

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3.4

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 75 75 76 78 81

4 Vecteurs al´atoires discrets e 4.1 Introduction . . . . . . . . . .. . 4.2 Vecteurs al´atoires . . . . . . . . e 4.3 Variables al´atoires ind´pendantes e e 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 5 Moments des v. a. discr`tes e 5.1 Esp´rance . . . . . . . . . e 5.2 Moments d’ordre r . . . . 5.3 Variance . . . . . . . . . . 5.4 Covariance . . . . . . . . . 5.5 Exercices . . . . . . . . . . 6 Loi 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

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87 . 87 . 95 . 97 . 103 . 107 117 117 119 120 122 125 133 139 139 143 147 150 151 156 158 162 169 169 172 175 175 179 180 180 182 184 187

des grands nombres Deux modes de convergence . . . . . . . Loi faible des grands nombres . . . . . . Estimation d’une proportion inconnue . . Convergence presque sˆre des fr´quences u e Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . ....
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