Mathématiques pour la financeChapitre 12
Probabilités conditionnelles et couple de variables aléatoires continues Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la financeProbabilités conditionnelles par rapport à un événement On peut répliquer dans le cas continu, la procédure utilisée dans le cas discret
Par exemple, si X est une v.a. continue et E un événement de probabilité non nulle, la fonction de densité conditionnelle est définie par f (x |E ) =
{
f (x)/P(E …afficher plus de contenu…

Par exemple si la densité de base est uniforme, cad correspond à une expérience où chaque événement à la même probabilité, alors il en sera de même pour la densité conditionnelle.
Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la financeDans l’exemple du pointeur, on suppose que l’aiguille pointe la partie haute du cercle 0 ≤ x < 1/2. Quelle est la probabilité que 1/6 ≤ x < 1/3?
Ici E =
[
0, 1
2
[
, E =
[
1
6
, 1
3
[ et E ∩ F = F
Donc P(F | E ) =
P(F ∩ E …afficher plus de contenu…

indépendantes avec
X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2). Calculer E(XY ) et
E(etX+sY )
E(XY ) = E(X )E(Y ) = µ1µ2
E(etX+sY ) = E(etXesY ) = E(etX )E(esY ) = MX (t)MY (s)
= eµ1t+ σ2 1 t2
2 eµ2t+ σ2 2s2
2
Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la financeAttention : Piège à éviter : E
(
X
Y
) n’est pas égal à E(X )
E(Y ) même si X et Y sont indépendants
Si X et Y sont indép. alors E
(
X
Y
)
= E
(
X 1
Y
)
= E(X )E
(
1
Y
)
En général E
(
1
Y
)
6= 1
E(Y ) comme le montre l’exemple suivant.
Soit Y ∼ U(1, 3).
Alors, par définition E(Y ) = 1+3
2
= 2⇒ 1
E(Y )
= 1
2
Or E
(
1
Y
)
=
∫ +∞
−∞
1 x fY (x)dx =
∫ 3
1
1 x .
1
3− 1 dx =
1
2
[ln x ]3
1
= 1
2
(ln 3− ln 1) = 1
2
ln 3
1
2 ln 3 6= 1
2
donc E
(