Produit scalaires et vectoriels dans l'espace euclidien

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PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN
Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants :
K K



Repère direct

k




k
J
→ →

Repère
O I

indirect

O


j
j


i

i
I J

Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O etregardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect" dans le cas contraire. L'espace étant orienté, il est alors possible d'orienter tout plan de l'espace :
→ →

→ → → →

→ →

Soit (O, i , j ) un repère d'un plan P. Soit k un vecteur normal au plan P. On dira que le repère (O, i , j ) est direct dans P lorsque le repère (O, i , j , k) l'est dans l'espace :



Repère du plan direct
P


k i
O



j
P




O

j

Repère du plan indirect

i


k

Les bases de l'espace ou des plans s'orientent de la même façon que les repères. Dans toute la suite du chapitre, les bases ou repères considérés seront orthonormaux.

I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se placedans une base orthonormale de l'espace. Soient u (x ; y ; z) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) deux vecteurs. On
→ → → → → →

appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par :
→ →

u . v = x x ′ + y y ′ + z z′ .
→ →

Exemple : Avec u (1 ; 2 ; 3) et v (2 ; 3 ; 6), on obtient u . v = 2 + 6 + 18 = 26. Remarques : •
→ → → 2 →2 → 2





u . u = x 2 + y 2 + z 2= | u | . On notera parfois (convention) u = | u | .

→ → → 2 →2 → 2 De même, si A et B sont deux points, on a AB . AB = | AB | et on notera parfois AB = | AB | .

Produit scalaire et vectoriel dans l'espace euclidien

page 1

G. COSTANTINI

• Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, u . v = 0 n'entraîne
→ → → → → → pas nécessairement( u = 0 ou v = 0 ). (Considérer par exemple u (1 ; 2 ; 0) et v (2 ; −1 ; 0) pour s'en





→ →

convaincre)
• Si u et v sont colinéaires ( v = k u ) alors u . v = x.kx + y.ky + z.kz = k( x 2 + y 2 + z 2 ) = k | u | .
→ → → → → → → 2

Théorème 1 Autres expressions du produit scalaire
→ →

1.

u.v=

1 → → 2 → 2 → 2 ( |u + v | −|u | −|v | ) 2

→ → → → → → → → → → 2. Lorsque u ≠0 et v ≠ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v ) → → → → → → → → → 3. Lorsque u ≠ 0 , u . v = u . v ′ où v ′ est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u .

Démonstrations : Notons (x ; y ; z) et ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) les coordonnées respectives de u et v . On a alors : |u + v | =
→ → 2 → → 2 → →

( x + x ′) 2 + ( y + y ′) 2 + ( z + z ′) 2 =

x 2 + 2x x ′ + x ′ 2 + y 2 + 2yy ′ + y ′ 2 + z 2 + 2z z ′ + z ′ 2

| u + v | = x 2 + y 2 + z 2 + x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 + 2 (x x ′ + y y ′ + z z ′ ) |u + v | = |u | + | v | + 2 u .v D'où l'expression 1. Établissons tout d'abord les expressions 2 et 3 dans un cas particulier :
 



→ 2

→ 2

→ 2

→ →

Si u et v sont colinéaires ( v = k u avec k ∈
→ →









) alors on a :
→ → → →

| u | . | v |. cos( u , v ) = | u | × |k| | u | × cos( u , v ) Or, |k| × cos( u , v ) = k (puisque cos( u , v ) = 1 si k > 0 et cos( u , v ) = −1 si k < 0) Donc : et | u | . | v | . cos( u , v ) = k | u | = u . v (d'après une remarque précédente)
→ → → → → → 2 → → → → → → → →

→ →

u . v ′ = u . v (puisque dans ce cas v ′ = v )
z



→ →





Dans ce cas, les expressions 2 et 3 sontvérifiées.
→ → → → Supposons maintenant que u ≠ 0 et que u et v sont non colinéaires : →



Posons i =

u









. Soit j un vecteur coplanaire avec u et v tel que :
→ →

|| u || ( i , j )=


k


π et || j || = 1. 2
→ → →

O


j

y

i

Soit k le vecteur orthogonal à i et j tel que la base
→ → →

( i , j , k ) soit directe.


v′





v

u...
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