PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN
Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants :
K K

→

Repère direct

k
→

→

k
J
→ →

Repère
O I

indirect

O
→

j j →

i

i
I J

Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect" dans le cas contraire. L'espace étant orienté, il est alors possible d'orienter tout plan de l'espace :
→ →

→ → → →

→ →

Soit (O, i , j ) un repère d'un plan P. Soit k un vecteur normal au plan P. On dira que le repère (O, i , j ) est direct dans P lorsque le repère (O, i , j , k ) l'est dans l'espace :

→

Repère du plan direct
P
→

k i
O

→

j
P
→

→

O

j

Repère du plan indirect

i
→

k

Les bases de l'espace ou des plans s'orientent de la même façon que les repères. Dans toute la suite du chapitre, les bases ou repères considérés seront orthonormaux.

I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormale de l'espace. Soient u (x ; y ; z) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) deux vecteurs. On
→ → → → → →

appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par :
→ →

u . v = x x ′ + y y ′ + z z′ .
→ →

Exemple : Avec u (1 ; 2 ; 3) et v (2 ; 3 ; 6), on obtient u . v = 2 + 6 + 18 = 26. Remarques : •
→ → → 2 →2 → 2

→

→

u . u = x 2 + y 2 + z 2 = | u | . On notera parfois (convention) u = | u | .

→ → → 2 →2 → 2 De même, si A et B sont deux points, on a AB . AB = | AB | et on notera parfois AB = | AB | .

Produit scalaire et vectoriel dans l'espace euclidien

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G. COSTANTINI

• Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, u . v = 0 n'entraîne
→ → → → → → pas nécessairement