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SERIES DE FOURIER
PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques représentations graphiques Annexe II : Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule historique En 1746, D'Alembert étudie l'équation des cordes vibrantes : 1 ∂2 y ∂2 y = c2 ∂t2 ∂x2 dont il donne les solutions sous la forme F(ct+x) + G(ct–x) où F et G sont arbitraires. (c est la vitesse de propagation de l'onde). Vers 1750, Daniel Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1 ∞

nct nx cos dans le cas l l

où les deux extrémités de la corde sont fixées. Or dans le cas où la position initiale est donnée par une condition y(x,0) = ϕ(x), ceci implique que ϕ(x) puisse se développer en série trigonométrique nx ∑ bn sin l . A l'époque, ceci paraissait impossible, l'argument principal étant par exemple qu'une n=1 fonction non périodique ne pouvait se représenter par une série de fonctions périodiques. Qu'on songe par exemple à une formule telle que :
∞ 4π2 ∞ 4 4π + ∑ 2 cos(nx) – ∑ sin(nx) 3 n n=1 n=1 n ∞

pour représenter la