´
Enonc´
e

`
Probleme

Plus loin dans l’irrationnel
Il n’est pas tr`s difficile de montrer que e √

2+

√

3+

√

5 est irrationnel.

On se propose ici de g´n´raliser consid´rablement ce genre de r´sultat. e e e e
Pour cela, il est important de se munir de notations commodes.
– On note P l’ensemble des nombres premiers.
– Pour toute partie finie A de P, on note ΠA la racine carr´e du produit des ´l´ments p de A. e ee
√
√
Par exemple, si A = {2, 5, 17}, alors ΠA = 2 · 5 · 17 = 170. Par convention Π∅ = 1.
Il est clair que si A et B sont deux parties disjointes de P, alors ΠA ΠB = ΠA∪B .
E
A

– Pour toute partie E de P, le symbole
Par exemple, si E = {2, 5, 17}, S =

E
A

d´signe une somme indic´e sur une partie quelconque A de E. e e

λA ΠA est une somme de 23 termes, A parcourant P(E).

Cette somme pourrait s’´crire, en notant par exemple λa,b,... plutˆt que λ{a,b,...} : e o
S = λ∅ Π∅ + λ2 Π2 + λ5 Π5 + λ17 Π17 + λ2,5 Π2,5 + λ2,17 Π2,17 + λ5,17 Π5,17 + λ2,5,17 Π2,5,17
√
√
√
√
√
√
√
= λ∅ + λ2 2 + λ5 5 + λ17 17 + λ2,5 10 + λ2,17 34 + λ5,17 85 + λ2,5,17 170
√
√
√
√
√
√
√
Bien sˆr, rien n’empˆche d’´crire S = a + b 2 + c 5 + d 17 + e 10 + f 34 + g 85 + h 170 u e e – Pour toute partie E de P, on note KE = {

E
A

λA ΠA , λA ∈ Q}.

KE est donc l’ensemble des combinaisons ` coefficients rationnels des ΠA , pour tous les A ⊂ E. a Cette d´finition donne imm´diatement K∅ = Q. Voici quelques exemples : e e
√
K{2} = {a + b 2, (a, b) ∈ Q2 }
√
√
√
K{2,5} = {a + b 2 + c 5 + d 10, (a, b, c, d) ∈ Q4 }
√
√
√
√
√
√
√
K{2,5,17} = {a + b 2 + c 5 + d 17 + e 10 + f 34 + g 85 + h 170, (a, b, . . . , g, h) ∈ Q8 }
– Il est clair que si E ⊂ F ⊂ P , alors KE ⊂ KF . On verra plus loin que E

F ⇒ KE

KF .

– Juste une petite remarque, en prenant par exemple E = {2, 5, 17} :
√
√
√
√
√
√
√
Soit S = a + b 2 + c 5 + d 17 + e 10 + f 34 + g 85 + h 170 dans KE , avec (a, b . . . , g, h) dans Q8