Devoir libre 1
MP1 – Lycée Moulay Youssef
À rendre le :: le lundi 23 septembre

Il faut porter le plus grand soin à la rigueur des démonstrations et de la présentation.
En particulier toute question devra commencer par un titre annonçant ce qui va être démontré et se terminer par une conclusion.

Dans tout le problème, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n

2.

On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E.
On appelle involution de E un automorphisme u de E tel que u 2 = id.
E ∗ désigne l’ensemble des formes linéaires de E.
On appelle transvection de E tout endomorphisme t de E différent de id E possédant les deux propriétés suivantes :
(1) il existe un hyperplan H de E tel que : ∀x ∈ H , t(x) = x
(2) ∀x ∈ E, t(x) − x ∈ H .

I Préliminaires
1. 1a. Montrer qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan de E si et seulement s’il existe une forme linéaire non nulle ϕ ∈ E ∗ telle que H soit le noyau de ϕ. (On dira que ϕ définit
I’hyperplan H .)
1b. Que peut-on dire de deux formes linéaires définissant le même hyperplan ? Justifier ?
2. Soit f un endomorphisme de E de rang 1.
2a. Montrer qu’il existe une forme linéaire λ et un vecteur e non nuls de E tels que :
∀x ∈ E , f (x) = λ(x)e
2b. Montrer que T r (f ) = λ(e) (on pourrait compléter le vecteur e en une base de E).
En déduire que f 2 = T r (f )f .

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II Partie I
1. Soit t une transvection de E et soit H l’hyperplan de E apparaissant dans le définition de t ci-dessus.
1a. Montrer que H = Ker(t − id).
H sera appelé hyperplan de la transvection t.
1b. Montrer que Im(t − id) est une droite vectorielle contenue dans Ker(t − id). Im(t − id) sera appelée droite de la transvection t.
En déduire que (t − id)2 = 0.
1c. Montrer que t est inversible et exprimer son inverse en fonction de t.
2. Montrer qu’un endomorphisme t de E est une transvection si et seulement s’il