Sens de variation d’une suite réelle
Soit (un)n∈N une suite réelle.
• La suite (un)n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un)n∈N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 6 un.
• La suite (un)n∈N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un)n∈N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un.
• La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n∈N est croissante ou la suite (un)n∈N est décroissante.
La suite (un) est strictement monotone si et seulement si (un)n∈N est strictement croissante ou strictement décroissante.
Techniques d’étude du sens de variation d’une suite
– On compare directement un+1 à un pour chaque entier n.
– On étudie le signe de un+1 − un pour chaque entier n.
– Si la suite (un)n∈N est strictement positive et définie par des produits (ex : un = 2 nn!), on compare un+1 un à 1 pour chaque entier n.
– Si la suite est du type un = f(n), on peut étudier les variations de la fonction f puis utiliser le théorème : si f est une fonction définie sur [0, +∞[ et si pour tout entier naturel n un = f(n), alors si f est croissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est croissante, si f est strictement croissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est strictement croissante, si f est décroissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est décroissante, si f est strictement décroissante sur [0, +∞[, la suite (un)n∈N est strictement