Stabilité des asservissements linéaires échantillonnés
I- Condition fondamentale de la stabilité
On rappelle qu’un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de transfert
G(p)=N(p)/D(p), qui sont les racines de l’équation D(p) = 0, sont tous à partie réelle négative. Or à chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de la relation fondamentale z = e Tp, reliant les variables p et z.

Les exemples suivants confirment cette remarque:

Pôles

-a

e-aT

-a et -b

e-aT et e-bT

Ainsi si on note pi = ai + jbi, un pôle pour G(p), on a zi = e Tpi = eaiT ej biT. La condition de stabilité du système continu, à savoir ai < 0, implique que :

En d’autres termes, si pi est un pôle à partie réelle négative (i.e stable), son image par le changement de variable z = eTp se trouve à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité.

D’où la condition fondamentale de stabilité d’un système échantillonné:
Un système à temps discret est stable si et seulement tous les pôles de sa fonction transfert G(z)
= N(z)/D(z), racines de l’équation D(z) = 0, ont tous un module inférieur à 1, c’est-à-dire se trouvent tous à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité du plan z.
II- Application aux systèmes asservis.

La figure ci-dessous représente le schéma fonctionnel canonique d’un asservissement échantillonné: On note :

- G(z) = G1(z) G2(z) la fonction de transfert en boucle ouverte :

- F(z) la fonction de transfert en boucle fermée:
Lorsque le système étudié est un système bouclé (asservi ou régulé), on s’intéresse d’abord à sa stabilité en étudiant les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée F(z); c’est-à-dire les racines de l’équation caractéristique 1 + G(z) = 0.
Cette équation n’est généralement facile à résoudre que dans le cas où le degré du polynôme 1 +
G(z) est inférieur ou égal à deux.
Cette résolution se complique lorsque ce