Statistique

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  • Publié le : 10 avril 2011
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En statistique inférentielle, un estimateur est une valeur calculée sur un échantillon et que l'on espère être une bonne évaluation de la valeur que l'on aurait calculée sur la population totale. On cherche à ce qu'un estimateur soit sans biais, convergent, efficace et robuste.
Principales propriétés souhaitables[modifier]

Si \widehat{\theta} est un estimateur de θ on dit qu'il est:

*Convergent si: \widehat{\theta} tend en probabilité vers θ quand le nombre d'observations augmente. Plus le nombre d'observations est grand et plus l'on se rapproche de la vraie valeur. Cette propriété d'un estimateur est essentielle si l'on veut pouvoir estimer avec grande précision le paramètre θ. En effet, si c'est le cas, pour augmenter la précision de l'estimateur, il suffira d'effectuer plusde mesures.
* Sans biais si: \mathbb{E}(\widehat{\theta})=\theta.\, On peut voir un estimateur sans biais comme un estimateur pour lequel on ne fait pas d'erreur systématique pour une taille d'échantillon donnée. À contrario pour un estimateur qui aurait un biais il pourrait par exemple exister des valeurs du paramètre θ pour lesquelles on sur estimerait ou sous estimerait de façonsystématique la grandeur que l'on cherche à évaluer. C'est pour qu'il soit sans biais que l'on estime d'ordinaire la variance quand on a n observations par \frac{n}{n-1}\sigma^2 et non par σ2 par exemple.

Ces deux propriétés sont essentielles et en règle générale on considère que tout estimateur devrait au moins vérifier ces deux propriétés pour qu'on puisse le considérer comme suffisamment précis. Onpeut de plus vouloir qu'un estimateur soit efficace (c'est-à-dire que l'estimation qu'il fournit varie le moins possible autour de la valeur à estimer) ou robuste (c'est-à-dire qu'il soit peu sensible aux variations d'une mesure sur les n). Ces deux propriétés sont détaillées plus bas dans les sections Optimisation d'estimateur et Robustesse.
Statistique exhaustive et information[modifier]
Articledétaillé : statistique exhaustive.

Une propriété de la théorie du physicien karl est très intéressante pour les probabilité en statistique qui peut avoir est son caractère exhaustif. Une statistique S est dite exhaustive si la probabilité conditionnelle d'observer X sachant S(X) est indépendante de θ. Cela peut se traduire par la formule suivante:

\mathbb{P}(X=x|S(X)=s,\theta) =\mathbb{P}(X=x|S(X)=s), \,

Cette définition n'étant pas forcément très simple à manier en pratique on préfère souvent utiliser la caractérisation de factorisation des statistiques exhaustives. Ces statistiques exhaustives sont particulièrement importantes car fournissent toute l'information qu'il est possible de récupérer sur le paramètre à partir d'une série d'observations. Une statistique exhaustiveapporte donc autant d'information que l'ensemble du vecteur des observations x et l'on ne peut pas récupérer plus d'information que celle contenue dans une statistique exhaustive. Cela se formalise grâce à l'information de Fisher. Si IS est l'information de Fisher apportée par une statistique S et I l'information du modèle:

I_{S}(\theta)\leq I(\theta)

Avec un cas d'égalité uniquement dansle cas d'une statistique exhaustive. Pour le cas d'un modèle à un seul paramètre cette inégalité est une inégalité classique. Pour le cas des modèles multiparamétrés cette inégalité est une inégalité au sens de la relation d'ordre partielle introduite par: A\leq B si B-A est une matrice symétrique positive.
Optimisation d'estimateurs[modifier]

L'optimisation d'estimateurs peut se faire grâce àl'usage de statistiques exhaustives. Une méthode possible pour trouver de "bons" estimateurs est de prendre un premier estimateur sans biais de la valeur à estimer sans trop chercher à l'optimiser. Ensuite on optimise cet estimateur en se servant de statistiques exhaustives.

Cette méthode repose principalement sur deux théorèmes : le théorème de Rao-Blackwell qui fournit un deuxième...
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