L3 S5 Eco-Gestion

2013-2014

Tests Paramétriques
0

Préambule loi normale centrée réduite
Student à n d.d.l. χ2 à n d.d.l.
Fisher à n et m d.d.l. binomiale (n; p)

1

notation
N (0; 1)
Tn
χ2 n Fn;m
B(n; p)

quantile d’ordre β zβ tn;β χ2 n;β wn;m;β bn;p;β

Comparaison d’un paramètre à une valeur de référence

X1 , . . . , Xn est un échantillon de variables aléatoires i.i.d. de moyenne µ (finie) et de variance σ 2 (finie).
¯
On note X = ( n Xi ) /n l’estimateur de la moyenne et S 2 = i=1 sans biais de la variance.

1.1

n i=1 (Xi

¯
− X)2 /(n−1) l’estimateur

Tests portant sur une moyenne

On souhaite comparer la valeur inconnue de µ à une valeur de référence µ0 par un test de seuil α
(0 < α < 1).
• test bilatéral : H0 : µ = µ0 vs H1 : µ = µ0
◦ σ connu

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X − µ0 )/σ
∗ sous H0 : Z∼N (0; 1) approximativementa
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : |Z| > z1−α/2

◦ σ inconnub

√ ¯
∗ statistique de test : T = n(X − µ0 )/S
∗ sous H0 : T ∼ Tn−1
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : |T | > tn−1;1−α/2

• test unilatéralb : H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0
◦ σ connu

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X − µ0 )/σ
∗ sous H0 : P(Z > z1−α ) ≤ α
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : Z > z1−α

◦ σ inconnu

√ ¯
∗ statistique de test : T = n(X − µ0 )/S
∗ sous H0 : P(T > tn−1;1−α ) ≤ α
∗ zone de rejet au seuil α : T > tn−1;1−α

A. Lourme, Faculté d’économie, gestion & AES, Université Montesquieu - Bordeaux IV. http://alexandrelourme. free.fr a ce résultat est une conséquence du TCL et l’approximation est d’autant meilleure que n est grand. Lorsque les variables
Xi (i = 1, . . . , n) sont gaussiennes, il ne s’agit pas d’une approximation : N (0; 1) est la distribution exacte de Z. b on suppose que les variables X (i = 1, . . . , n) sont gaussiennes i 1

1.2

Tests portant sur une proportion

On suppose que les variables X1 , . . . , Xn sont i.i.d. à B(1; p) (loi de Bernoulli