Statistiques

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Cours de statistiques d’IUT

Chapitre 1

LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES

A. Statistiques a une variable 1. Vocabulaire de la statistique Un ensemble d’objets ou de personnes d’une étude statistique est appelé population. Un élément de cette population est appelé individu. L’étude statistique porte sur un caractère. Si le caractère est quantitatif, les mesures sont alors les valeurs d’unevariable statistique (ex : un âge, une taille...). Si le caractère est qualitatif, on est obligé de le quantifier (ex : sexe...). La variable est dite discrète si elle ne prend que des valeurs isolées (ex : entières). Elle est continue si elle peut prendre toutes la valeurs d’un intervalle (ex : R). L’effectif d’une population est le nombre d’individus total de cette population. La fréquence d’uncaractère est le nombre d’individus possédant ce caractère divisé par l’effectif total de la population. 2. Les variables discrètes a) Représentation On représente les variables aléatoires discrètes sous forme d’histogramme ou de camembert grâce aux différentes fréquences b) Caractéristiques
(1) La moyenne

Soit n valeurs distinctes ou non de la variable. Si cette variable prend p valeursdistinctes (p”Q  x1,…,xp , d’effectifs respectifs n1,…np alors la moyenne est donnée par : x = ∑ n ix i
i=1 p

(2) Propriété

si pour tout i, on peut opérer un changement de variable affine du type : xi = aXi + b alors x = aX + b.
(3) La variance
p

1 2 Elle est donnée par la formule : : V = ∑ n i(xi − x) . n i=1
(4) L’écart-type

Jean-Michel BERNABOTTO

1

Cours de statistiques d’IUT Ilest donné par la formule : σ = V
(5) Propriétés
p

1 2 2 La formule suivante est plus pratique pour le calcul de V : V = ∑ n ixi − x n i=1 2 De plus si pour tout i, xi = aXi + b alors Vx = a VX et σx = aσX. 3. Les variables continues a) Représentation Pour leur représentation, on regroupe en général dans des classes adjacentes d’amplitudes pas forcément égales. Ceci est représenté dans letableau ci-dessous : [X1 ; X2 [ ………………… [Xp-1 ; Xp] classes [X0 ; X1[ centre des classes x1 x2 xp effectifs n1 n2 np fréquences n1/n n2/n np/n La représentation s’effectue alors grâce à un histogramme dont les rectangles sont de largeur l’amplitude de la classe et dont l’aire est proportionnelle à l’effectif. b) Caractéristiques Pour calculer moyenne et écart-type, on prend les formules connues avecles xi centres des classes Xi−1 + X i c’est à dire xi = 2 B. Statistiques a deux variables 1. Tableau de données. Nuage de points. On observe que dans certains cas, il semble exister un lien entre 2 caractères d’une population (ex : entre poids et taille, entre l’épaisseur d’un mur et sa résistance thermique...). On définit alors une série statistique à 2 variables x et y, prenant des valeursx1,…,xn et y1,…,yn. a) Tableau de données. Le nom est explicite. On représente les différentes valeurs de x et y dans un tableau à deux entrées. x en mm 2 4 6 8 10 12 15 20 y en m2.°C 0,83 1,34 1,63 2,29 2,44 2,93 4,06 4,48 b) Nuage de points Le plan P étant muni d’un repère orthogonal, on peut associer au couple (xi ; yi) de la série statistique double, le point Mi de coordonnées xi et yi. L’ensembledes points Mi obtenus constitue le nuage de points représentant la série statistique.

Jean-Michel BERNABOTTO

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Résistance thermique d'un mur en fonction de son épaisseur
4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 5 10 15 20 Série1

c) Point moyen On appelle point moyen d’un nuage de n points Mi de coordonnées (xi ; yi), le point G de n 1 xG = x = ∑ xi n i=1coordonnées . 1 n y G = y = ∑y i n i=1 C. Ajustement affine 1. Méthode graphique a) Ajustement à la règle On trace au jugé une droite D passant par plus près possible des points du nuage de points, en s’efforçant d’équilibrer le nombre de points situés au dessus et au dessous de la droite D. L’équation de D est alors de la forme y = ax + b. Pour retrouver cette équation, il suffit alors de connaître 2...
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