A. P. M. E. P.

Baccalauréat STI 2D/STL
Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Correction
E XERCICE 1

4 points

π
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument .
2
On considère les nombres complexes z1 , z2 et z3 définis par : z1 = 1 + i 3,

π

z2 = e−i 4

π

et z3 = ei 12 .

1. Déterminons l’écriture exponentielle de z1 .
L’écriture exponentielle d’un nombre complexe est ρeiθ où ρ est son module et θ son argument. ρ= 12 + ( 3)2 = 2 et θ est tel que cos θ =

π π 3
1
et sin θ = par conséquent θ = . z1 = 2ei 3 .
2
2
3

2. Déterminons l’écriture algébrique de z2 . π z2 = e−i 4 = cos(− π4 ) + i sin(− π4 ).

2
2
−i
.
2
2
3. Démontrons que z1 × z2 = 2z3 . z2 =

z1 × z2 = ρ 1 ρ 2 ei(θ1 +θ2 ) .

Par conséquent z1 z2 = 2ei

π π
3−4

π

= 2ei 12 = 2z3 .

π π ) + i sin( 12
).
4. Écrivons l’écriture algébrique de z3 . z3 = cos( 12

5. Calculons alors cos
2z3 = (1 + i 3) z3 =

2+ 6
4

+i

2
2

π
12

−i

2
2

et sin
=

6− 2
.
4
2+ 6 π 12 =
2

2
2

π
+ i sin
+i
cos 12
Nous en déduisons donc π π
= 2+4 6 et sin 12
=
cos 12

π
12

−i

2
2

+i 3

2
2

+ 3

2
2

=

2+ 6
2

+i

6− 2
.
2

6− 2
.
2
6− 2
.
4

E XERCICE 2

4 points

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10−2 près.
1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
a. Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
Nous avons n = 100 p = 0,92. Par conséquent, n > 30, np > 5 et np(n − p) > 5. L’intervalle de fluctuation p(1 − p) p(1 − p) asymptotique à 95 % est : p − 1,96
.
; p + 1,96 n n
0,92 × 0,08
0,92 × 0,08
; 0,92 + 1,96
0,92 − 1,96
= [0,87 ; 0,97].
100
100
b. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Nous pouvons accepter l’hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de