Suites exo

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´ Recueil d’annales en Mathematiques Terminale S - Enseignement obligatoire ´ Suites numeriques
Fr´d´ric Demoulin1 e e

Derni`re r´vision : 11 septembre 2005 e e

1

frederic.demoulin@voila.fr

Annales Terminale S

Suites num´riques e

Tableau r´capitulatif des exercices e
⋆ indique que cette notion a ´t´ abord´e dans l’exercice ee e S.R. : suites r´currentes ; S.Ar. : suitesarithm´tiques ; S.G. : suites g´om´triques ; S.Ad. : suites adjacentes e e e e
N ˚ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Lieu Am´rique du Nord e Asie France La R´union e Inde Nouvelle-Cal´donie e Am´rique du Sud e Nouvelle-Cal´donie e Antilles-Guyane Centres ´trangers e France La R´union e Liban Inde Nouvelle-Cal´donie e Centres ´trangers e Liban Inde Nouvelle-Cal´donie eAntilles-Guyane Asie Centres ´trangers e Am´rique du Sud e Ann´e e Juin 2005 Juin 2005 Juin 2005 Juin 2005 Avril 2005 Mars 2005 Nov 2004 Nov 2004 Juin 2004 Juin 2004 Juin 2004 Juin 2004 Juin 2004 Avril 2004 Nov 2003 Juin 2003 Juin 2003 Avril 2003 Mars 2003 Sept 2002 Juin 2002 Juin 2002 Nov 2001 QCM S.R. ⋆ S.Ar. S.G. S.Ad. ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆f (x) = x ⋆ Fcts ⋆ Int´gr. e ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Proba.

Fr´d´ric Demoulin e e

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Suites num´riques e

Exercice 1

Am´rique du Nord, Juin 2005 e

(6 points)

Le graphique fourni en fin d’´nonc´ sera compl´t´ et remis avec la copie. e e ee 2x + 1 . Soit la fonction f d´finie sur l’intervalle [0 ; 2] par f (x) = e x+1 ´ 1. Etudier les variations de f sur l’intervalle[0 ; 2]. Montrer que si x ∈ [1 ; 2] alors f (x) ∈ [1 ; 2]. 2. (un ) et (vn ) sont deux suites d´finies sur N par : e u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn ). (a) Le graphique donn´ ci-dessous repr´sente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. e e Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn ) en laissant apparents tous les traits de construction. ` A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un ) et (vn ) ? (b) Montrer ` l’aide d’un raisonnement par r´currence que : a e Pour tout entier naturel n, 1 vn 2. Pour tout entier naturel n, vn+1 vn . On admettra que l’on peut d´montrer de la mˆme fa¸on que : e e cPour tout entier naturel n, 1 un 2. Pour tout entier naturel n, un un+1 . vn − u n . (c) Montrer que pour tout entier naturel n, vn+1 − un+1 = (vn + 1) (un + 1) 1 En d´duire que pour tout entier naturel n, vn − un 0 et vn+1 − un+1 e (vn − un ). 4 n 1 . (d) Montrer que pour tout entier naturel n, vn − un 4 (e) Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un mˆme r´el α. e e D´terminer lavaleur exacte de α. e

1,5

1,0

0,5

0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

Fr´d´ric Demoulin e e

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Suites num´riques e

Exercice 2

Asie, Juin 2005

(7 points)

On s’int´resse dans cet exercice ` une suite de nombres rationnels qui converge vers e2 . e a On d´finit, pour tout entier naturel n 1, l’int´grale : e e
2

In =
0

1 (2 − x)n ex dx.n!

1. Calculer I1 . ´ 2. Etablir que pour tout entier naturel n 2n 2 e −1 . n! ` 3. A l’aide d’une int´gration par parties, montrer que pour tout entier naturel n e 2n+1 . (n + 1)! 1, 0 In 2n 2 22 + + ... + + In . 1! 2! n! 2n . 1, un = n! 3, un+1 u3 1 2
n−3

1, In+1 = In −

4. D´montrer par r´currence que e2 = 1 + e e 5. On pose, pour tout entier naturel n (a) Calculer

un+1 et prouverque pour tout entier naturel n un 3, 0 un

1 un . 2 .

(b) En d´duire que pour tout entier naturel n e

6. En d´duire la limite de la suite (un ) puis celle de la suite (In ). e 7. Justifier enfin que : e2 = lim 1+ 2 22 2n + + ··· + 1! 2! n! .

n→+∞

Exercice 3

France, Juin 2005

(4 points)

Cet exercice constitue une restitution organis´e de connaissances. e Partie A : question de...
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