Université Paris 1 - L3 Mass - Modèles mathématiques en Finance - TD2
 1 2 3


1. Il y a trois actifs financiers et la matrice des paiements s'écrit R =  2 3 4 .
 3 4 5
On suppose les prix des titres égaux respectivement à 1 , 2 , 3 . Montrer qu'il existe des opportunités d'arbitrage.  1 2 0


2. La matrice des paiements s'écrit R =  1 1 2 .
 1 0 1 
Les marchés sont-ils complets ? On suppose q1 = 1 , déterminer dans quel domaine doivent se trouver les prix q2 , q3 et le représenter graphiquement.

3. Il y a trois actifs financiers et la matrice des paiements s'écrit R =

 
1 3 1
2 1 1
3 2 2

a) Les marchés sont-ils complets ?
b) Déterminer un portefeuille offrant un paiement sans risque
c) Calculer les "prix d'état" en fonction des prix des titres q1 , q2 , q3
d) On suppose que q1 = q2 = 1,6 . Quelles sont les valeurs possibles de q3 ? Quelles sont les valeurs possibles du taux d'intérêt ?
4. Soit une relation de préférence ≥ sur l'espace de loteries L vérifiant l'axiome d'indépendance.
Montrer que :
∀ a , b , c , d ∈ L , ∀ λ ∈ [0 , 1] ,
( a ≥ b et c ≥ d ) ⇒ (λa + (1 - λ)c ≥ λb + (1 - λ)d) .
5. Soit un décideur A vérifiant l'axiome d'indépendance. On suppose que A est prêt à payer 100F pour une loterie rapportant 0F ou 200F avec équiprobabilité mais qu'il refusera de payer 200F pour une loterie rapportant 100F ou 300F avec équiprobabilité. On considère les loteries suivantes : loterie a : recevoir 300F avec proba 1/4 ou 100F avec proba 3/4 . loterie b : recevoir 200F avec proba 3/4 ou 0F avec proba 1/4 .
Quelle est, des deux loteries a et b , la loterie que le décideur préfère ?
6. Soit un décideur muni de la fonction d'utilité de VNM u : R+ −> R , x −> u(x) = x - 0,05x2 pour x ≤ 5 , x −> 0,5x + 1,25 pour x ≥ 5 .
La fonction u vérifie t-elle les hypothèses usuelles (monotonie, aversion pour le risque) ?