Mathematique

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SESSION 2001
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

´ ´ ` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

´ MATHEMATIQUES 2
´ Duree : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n estun entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le groupe des e a e matrices inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments de Mn (K) sont not´s M= (mi j ). ee e Pour une matrice A de Mn (K), on note t A la transpos´e de la matrice A, rg(A) son rang, e χA = det(A − X In ) son polynˆme caract´ristique et Sp(A) l’ensemble de ses valeurs propres. o e Si P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 est un polynˆme unitaire de Kn [X] on lui associe o 0 1   0 la matrice compagnon CP =  .  0 0   0 . . 0 −a0 0 . . 0 −a1   1 0 . 0 −a2   ∈Mn (K). . . . . .   . 0 1 0 −an−2 . . 0 1 −an−1

(c’est-`-dire la matrice CP = (ci j ) est d´finie par ci j = 1 pour i − j = 1, ci n = −ai−1 et ci j = 0 a e dans les autres cas). Les parties II. III. et IV. utilisent les r´sultats de la partie I. et sont ind´pendantes entre elles. e e

I. Propri´t´s g´n´rales e e e e
Dans cette partie on consid`re le polynˆme P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1X + a0 de Kn [X] et e o CP sa matrice compagnon associ´e. e

1. 2.

Montrer que CP est inversible si et seulement si P (0) = 0. Calculer le polynˆme caract´ristique de la matrice CP et d´terminer une constante k telle o e e que χCP = k P . 1

3. 4.

Soit Q un polynˆme de Kn [X], d´terminer une condition n´cessaire et suffisante pour qu’il o e e existe une matrice A de Mn (K) telle que χA =Q. On note t CP la transpos´e de la matrice CP . e a. Justifier la proposition : Sp(CP ) = Sp(t CP ). b. Soit λ un ´l´ment de ee
(t

CP ), d´terminer le sous-espace propre de t CP associ´ ` λ. e ea

c. Montrer que t CP est diagonalisable si et seulement si P est scind´ sur K et a toutes ses e racines simples. d. On suppose que P admet n racines λ1 , λ2 , . . . , λn deux ` deux distinctes,montrer que t CP a est diagonalisable et en d´duire que le d´terminant de Vandermonde e e 1 1 . . 1 λ1 λ2 . . λn λ2 λ2 . . λ2 est non nul. 1 2 n . . . . . λn−1 λn−1 . . λn−1 n 1 2

5.

Exemples : a. D´terminer une matrice A (dont on pr´cisera la taille n) v´rifiant : e e e A2002 = A2001 + A2000 + 1999 In . b. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E v´rifiant : e f n−1= 0 et f n = 0 ; montrer que l’on peut trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est une matrice compagnon que l’on d´terminera. e

II. Localisation des racines d’un polynˆme o
Soit A = (ai j ) une matrice de Mn (C), on pose pour tout entier 1 ≤ i ≤ n :
n

ri =
j=1

|ai j | et Di = {z ∈ C, |z| ≤ ri }. 

 x1 x  Pour X =  2  ∈ Mn,1 (C), on note X . xn 



= max |xi|.
1≤i≤n

6.

 x1 x  Soit λ ∈ Sp(A) et X =  2  un vecteur propre associ´ ` λ. ea . xn Montrer que pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : |λ xi | ≤ ri X ∞ .
n

7. 8.

D´montrer que Sp(A) ⊂ e
k=1

Dk .

Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynˆme de C[X], ´tablir que toutes les o e racines de P sont dans le disque ferm´ de centre 0 et de rayon e R = max {|a0 | , 1 + |a1 | , 1+ |a2 | , . . . , 1 + |an−1 |} . 2

9.

Application : Soit a, b, c et d quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l’´quation e d’inconnue n : na + nb = nc + nd n’admet pas de solution sur N \ {0, 1}.

III. Suites r´currentes lin´aires e e
On note E = CN l’espace vectoriel des suites de complexes et si u est une suite de E, on ´crira e u(n) ` la place de un pour d´signer...
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