Consid´rations e autour du Th´or`me de Baire e e
Charles Navet
Promoteur : Michel Willem

2008-2009

Consid´rations autour du Th´or`me de Baire e e e

Travail ´crit et pr´sent´ dans le cadre du cours e e e MAT1381 - Projet personnel et s´minaire (Camille Debieve). e

Tous mes remerciements vont au Professeur Michel Willem pour ses explications, son soutien et l’int´rˆt qu’il a port´ ce travail. e e e

Table des mati`res e
Introduction Pr´ambule e 1 L’axiome du choix 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Retour sur le Th´or`me de Baire . . . e e 1.3 Formes faibles de l’axiome du choix . . 1.3.1 Axiomes du choix d´nombrable e et du choix d´pendant . . . . . e 1.3.2 Implications . . . . . . . . . . . 1.4 Un axiome contest´.. . . . . . . . . . . e 1.5 L’axiome du choix est-il vrai ? . . . . . 5 6 7 . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15

2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e

3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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Introduction
Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule autour du Th´or`me de Baire, du nom du math´maticien e e e fran¸ais Ren´-Louis Baire (1874-1932). Dans le pr´ambule, nous rappellons c e e ce Th´or`me. e e La d´monstration du Th´or`me se fait par r´currence. Mais nous verrons e e e e que si nous n’ajoutons pas d’hypoth`se particuli`re (de s´parabilit´ de l’ese e e e pace, par exemple), cette d´monstration n´cessite l’introduction d’un axiome e e de la th´orie des ensembles, appel´ ”Axiome du Choix”. Nous verrons qu’il e e existe ´galement des formes plus faibles de cet axiome et nous d´montrerons e e des relations entre