Le théorème de la valeur moyenne affirme, approximativement, que pour tout arc planaire entre deux points d'extrémité, la tangente à l'arc est parallèle à la sécante passant par ses points d'extrémité en au moins un point. Il s'agit de l'un des résultats les plus significatifs de la recherche sur le monde réel. Parameshvara (1380-1460), de l'école d'astronomie et de mathématiques de Kerala en Inde, a été le premier à présenter un exemple spécifique de ce théorème dans ses commentaires sur Govindasami et Bhaskara II. Michel Rolle a prouvé une forme restreinte du théorème en 1691 ; la conclusion est maintenant connue sous le nom de théorème de Rolle, et elle a été prouvée uniquement pour les polynômes et sans l'utilisation de techniques de calcul. Augustin Louis Cauchy a énoncé et prouvé le théorème de la valeur moyenne dans sa version moderne en 1823. Depuis lors, de nombreuses variations de ce théorème ont été prouvées.
Qu'est-ce que le Théorème de la Valeur Moyenne ?
Le théorème de la valeur moyenne affirme qu'il existe au moins un point (c, f(c)) sur une courbe f(x) passant par deux points donnés (a, f(a)), (b, f(b)) où la tangente est parallèle à la sécante passant par les deux points donnés. Pour une fonction f(x) : [a, b] R qui est continue et différentiable sur un intervalle, le théorème de la valeur moyenne est défini en calcul.
Sur l'intervalle [a, b], la fonction f(x) est continue.
La fonction f(x) est différentiable sur un intervalle de valeurs (a, b).
Dans l'intervalle (a, b), il existe un point c où f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a).
La tangente en c est parallèle à la sécante passant par les points (a, f(a)), (b, f(b)) dans cette preuve. Ce théorème de la valeur moyenne est utilisé pour prouver une affirmation sur une plage étroite. Le théorème de Rolle est également utilisé pour dériver le théorème de la valeur moyenne.
Qu'est-ce que le Théorème de Rolle ?
Le théorème de Rolle affirme que toute fonction différentielle à valeur réelle qui a des valeurs