Valeurs intermediaires

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  • Publié le : 9 décembre 2010
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Ch 3 Fonctions : limites , continuité , dérivabilité (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette)
Comment appliquer le théorème des « valeurs intermédiaires » ?

Méthode Le théorème dit « desvaleurs intermédiaires » permet de démontrer qu’une
fonction prend au moins une fois une valeur donnée , c’est à dire de justifier
l’existence de solution(s)pour une équation du type f(x) = k .
Il faut pour cela que la fonction soit continue sur l’intervalle considéré ( ce qui est
le cas pour la plupart desfonctions étudiées en terminale ) et que l’on trouve 2
réels dont les images encadrent k.
Si l’intervalle est donné , il suffit de calculer les images des bornes ( ouéventuellement les limites ) .
Si il n’y a aucune indication d’intervalle , l’image de 0 ( si elle existe ) est simple
à calculer , et engénéral des considérations de signe ou d’ordre de grandeur
permettent de trouver rapidement une autre valeur ( en général entière )
Il est bien entendu conseilléd’utiliser la calculatrice et sa fonction « tableau »
pour rechercher ces valeurs.

Applications
1) Démontrer que l’équation x 4 + 3 x 2 – 5 x +1 = 4 admet au moins une solution dans[–1;0].
2) Démontrer que l’équation [pic]= [pic] admet au moins une solution dans [ 3 ; +[pic][.
3) Démontrer que l’équation cos x = [pic] admet au moins une solution dans R.

Réponses nondétaillées

1) La fonction f : x[pic] x 4 + 3 x 2 – 5 x +1 est continue sur R car … et 4[pic][ f(–1) ;f(0) ] car …
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires …
2) Equation setransformant en f(x) = k avec f(x) = [pic] et k = 8 .
f est continue sur [3 ;+[pic][ car … et 8[pic][f(3) ; f(4)] car ...
D’où, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 8 admet...
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