Valeurs intermediaires

930 mots 4 pages

Ch 3 Fonctions : limites , continuité , dérivabilité (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette)
Comment appliquer le théorème des « valeurs intermédiaires » ?

Méthode Le théorème dit « des valeurs intermédiaires » permet de démontrer qu’une fonction prend au moins une fois une valeur donnée , c’est à dire de justifier l’existence de solution(s) pour une équation du type f(x) = k . Il faut pour cela que la fonction soit continue sur l’intervalle considéré ( ce qui est le cas pour la plupart des fonctions étudiées en terminale ) et que l’on trouve 2 réels dont les images encadrent k. Si l’intervalle est donné , il suffit de calculer les images des bornes ( ou éventuellement les limites ) . Si il n’y a aucune indication d’intervalle , l’image de 0 ( si elle existe ) est simple à calculer , et en général des considérations de signe ou d’ordre de grandeur permettent de trouver rapidement une autre valeur ( en général entière ) Il est bien entendu conseillé d’utiliser la calculatrice et sa fonction « tableau » pour rechercher ces valeurs.

Applications
1) Démontrer que l’équation x 4 + 3 x 2 – 5 x +1 = 4 admet au moins une solution dans [–1;0].
2) Démontrer que l’équation [pic]= [pic] admet au moins une solution dans [ 3 ; +[pic][.
3) Démontrer que l’équation cos x = [pic] admet au moins une solution dans R.

Réponses non détaillées

1) La fonction f : x[pic] x 4 + 3 x 2 – 5 x +1 est continue sur R car … et 4[pic][ f(–1) ;f(0) ] car …
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires … 2) Equation se transformant en f(x) = k avec f(x) = [pic] et k = 8 . f est continue sur [3 ;+[pic][ car … et 8[pic][f(3) ; f(4)] car ...
D’où, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 8 admet au

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