Problèmes ouverts en Théorie des nombres
Henri Cohen
Institut de Mathématiques de Bordeaux

4 juin 2009,

Bordeaux

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Introduction
La théorie des nombres (ou arithmétique) s’occupe principalement des propriétés des nombres entiers. Bien que son sujet d’étude soit tout à fait élémentaire, les outils qu’elle utilise proviennent de toutes les branches des mathématiques, sont souvent très profonds, et assez fréquemment les outils sont en fait créés dans le but de résoudre des problèmes de théorie des nombres : l’un des exemples les plus frappants est la théorie des groupes, anneaux, corps, qui s’est principalement dévelopé sous l’impulsion de problèmes de théorie des nombres. La TN a ceci de paradoxal que la plupart de ses problèmes peuvent être énoncés de manière tout à fait élémentaire, mais que les outils nécessaires pour leur résolution (quand on les résoud !) sont en général très sophistiqués. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu d’un certain nombre de problèmes ouverts, dans certains cas des méthodes d’approche, et également des commentaires de nature plus philosophiques.
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Introduction
La théorie des nombres (ou arithmétique) s’occupe principalement des propriétés des nombres entiers. Bien que son sujet d’étude soit tout à fait élémentaire, les outils qu’elle utilise proviennent de toutes les branches des mathématiques, sont souvent très profonds, et assez fréquemment les outils sont en fait créés dans le but de résoudre des problèmes de théorie des nombres : l’un des exemples les plus frappants est la théorie des groupes, anneaux, corps, qui s’est principalement dévelopé sous l’impulsion de problèmes de théorie des nombres. La TN a ceci de paradoxal que la plupart de ses problèmes peuvent être énoncés de manière tout à fait élémentaire, mais que les outils nécessaires pour leur résolution (quand on les résoud !) sont en général très sophistiqués. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu d’un certain nombre de problèmes ouverts, dans